Fünfter Abschnitt. Maxima nnd Minima der Funktionen. 301 
Man hätte auch von der folgenden Betrachtung ausgehen 
können. Der Ort der Punkte P, für welche AP + PB einen 
bestimmten konstanten Wert s hat, ist eine Ellipse mit den 
Brennpunkten AB und der großen Achse s (Fig. 24); die 
kleinste unter diesen (konfokalen) Ellipsen, welche mit der 
Geraden XX' reelle Punkte gemein hat, ist diejenige, welche 
sie berührt; der Berührungspunkt bestimmt die Lösung der 
Aufgabe und hat nach einer bekannten Eigenschaft der Ellipsen 
tangente eine solche Lage, daß X' PA = XPB. 
8) Es sind zwei Punkte 
A, B und eine sie trennende 
Gerade XX' gegeben (Fig. 25). 
Man soll denjenigen Punkt P 
in XI' bestimmen, für wel 
chen die Differenz 
d = AP-PB 
ein Maximum wird. 
Die analytische Behandlung der Aufgabe führt zu der 
nämlichen Gleichung (/3) wie vorhin. Von den beiden Wurzeln 
entspricht nun 
ac 
OOn -—• V 
1 a — o 
dem verlangten Maximum und liefert den Punkt P, zu dessen 
Konstruktion B'B 1 = BB' zu machen und A mit B t zu ver 
binden ist; dieser Punkt ist also durch die Gleichheit der 
Winkel X'PA und X'PB charakterisiert. Die zweite Lösung 
ac 
X i = ~ä+h 7 
welche auf den Schnittpunkt Q der Geraden AB mit XX' 
hinleitet, ist der gestellten Aufgabe fremd und bestimmt das 
Minimum von AP A PP; denn tatsächlich ist 
AP A PB^ AB, 
daher AB der kleinste Wert von AP A PB, welcher eintritt, 
wenn P mit Q zusammenfällt. 
Geometrisch löst sich die gestellte Aufgabe durch folgende 
Betrachtung. Der Ort der Punkte P, für welche die Differenz 
Fig. 26.