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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
AP — BP einen bestimmten konstanten Wert d hat, ist eine 
Hyperbel mit den Brennpunkten A, B und der reellen Achse d■ 
diejenige unter diesen konfokalen Hyperbeln, welche die Ge 
rade XX' berührt, hat unter denen, die mit dieser Geraden 
reelle Punkte gemein haben, die größte reelle Achse; ihr Be 
rührungspunkt bestimmt also die Lösung der Aufgabe und 
liegt nach einer bekannten Eigenschaft der Hyperbel so, daß 
x'pa = <£ x'pb. 
9) Es sind zwei Punkte A, B und eine sie trennende 
Ebene MM' gegeben (Fig. 26). Man soll den Weg von A nach 
B bestimmen, welchen ein Bewegliches in 
der kürzesten Zeit zurücklegt, wenn es sich 
von A bis zur Ebene mit der Geschwin 
digkeit u und von da ab bis B mit der 
Geschwindigkeit v bewegt.*) 
Der Weg wird sich notwendig aus zwei 
geradlinigen Strecken zusammensetzen und 
bestimmt sein, sobald man den Punkt P 
der Ebene kennt, über welchen er führt. Von diesem läßt 
sich ferner erweisen, daß er in die Verbindungslinie der ortho 
gonalen Projektionen Ä, B' von A, B auf MM' fällt, daß 
der Weg selbst also in der durch A, B zu MN gelegten 
Hormalebene verläuft. Denn zu einem Wege wie AQB, der 
über einen Punkt Q außer A B' führt, läßt sich immer ein 
Weg finden, der in kürzerer Zeit zurückgelegt wird als AQB• 
man braucht nur QP senkrecht zu A'B' zu ziehen, und erkennt 
sogleich, daß AP <C AQ, BP <BQ, daß also auch APB in 
kürzerer Zeit zurückgelegt wird als AQB. 
Ist AA' = a, BB' = b, A'B' = c, A'P — x, so ist die für 
den Weg APB erforderliche Zeit 
t 
}/a 2 -j- x 2 , ]/b 2 -J- (c — xY 
u ‘ v 
*) Mit dieser Aufgabe befaßte sich P. Fermat (1662), der ein Ver 
fahren zur Bestimmung der Maxima und Minima gefunden hatte, das im 
Wesen auf die Annullierung des ersten Differentialquotienten hinaus 
kommt. Leibniz nahm sie in die historisch denkwürdige Abhandlung 
auf, die in der zweiten Fußnote zu 22 zitiert ist und die sich neben 
dem Tangentenproblem auch mit den Extremwerten beschäftigt.