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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
kleine Oberfläche (Mantelfläche) erhalte? (Höhe = Basisradius 
X]/2; Zentriwinkel des ausgebreiteten Mantels 20T°50'). 
119. E xtreme Werte bei singulärem Verhalten des 
Differentialquotienten. Die bisher gepflogenen Unter 
suchungen über die Extreme einer stetigen Funktion f(x) waren 
an die Voraussetzung geknüpft, daß die Funktion an jeder Stelle 
innerhalb des Intervalls (a, ß), für welches sie definiert ist, 
einen vollständigen Differentialquotienten besitzt. Aber auch 
bei anderem Verhalten der Funktion können sich extreme 
Werte einstellen. 
1) Angenommen, an einer Stelle a zwischen a und ß höre 
die Ableitung f'(x) auf definiert zu sein; dagegen gebe es dort 
einen bestimmten linken und ebenso einen bestimmten rechten 
Differentialquotienten (20), und die beiden seien ungleich be 
zeichnet; dann ist f(a) ein Maximum oder ein Minimum, je 
nachdem bei der angegebenen Ordnung der beiden Differential 
quotienten ein Übergang vom positiven zum negativen oder 
das Umgekehrte stattfindet. 
Denn im ersten Falle ist 
f{a -f h) — f{a) 
h ’ 
das für lim h = — 0 gegen eine positive Grenze konvergiert, 
für negative h, deren Betrag über eine angebbare Grenze nicht 
hinausreicht, positiv, folglich für solche h 
f{a + h) — f{a) < 0; 
derselbe Quotient, da er für lim h = + 0 gegen eine negative 
Grenze konvergiert, bleibt für positive h unter einem angeb- 
baren Betrage negativ, so daß für solche h 
f{a + h) — f(a) < 0; 
dadurch ist aber f{a) als Maximum erwiesen (114, (1)). 
Ähnlich gestaltet sich der Beweis im zweiten Falle. 
Der Übergang vom Wachsen ins Abnehmen oder um 
gekehrt äußert sich, wenn man f{x) durch die Ordinaten einer 
Kurve darstellt, im vorliegenden Falle in solcher Weise, daß 
die Kurve an der Übergangsstelle zwei verschiedene Tangenten 
aufweist (17, Fig. 4).