Fünfter Abschnitt. Maxima nnd Minima der Funktionen. 305 
C z ub er, Vorlesungen. I. 3. Aufl. 
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Als Beispiel diene die Funktion 
f{x) = h +]/(ic — a) 2 , 
wo die Wurzel als positiv aufgefaßt wird; diese Funktion be 
sitzt an jeder Stelle mit Ausnahme von x = a einen bestimm 
ten Differential quoti enten: 
rw 
der negativ und = — 1 ist 
Y(x — a) 2 
im Intervalle (—oo, a), positiv 
Fig. 27. 
und = + 1 im Intervalle (a, + oo); an der 
Stelle a selbst ist der linke Differentialquotient 
— 1, der rechte -J- 1, daher ist f(a) = h ein 
Minimum. — Die Funktion f(x) ist geome 
trisch durch die Ordinaten der Schenkel des 
rechten Winkels LMN (Fig. 27) dargestellt, 
dessen Scheitel die Koordinaten (a, h) hat 
und dessen Schenkel gegen die Achsen gleichgeneigt sind. 
2) Angenommen ferner, die Ableitung fix) von f\x) sei 
an einer Stelle x = a innerhalb (a, ß), an der die Funktion 
selbst einen bestimmten Wert f(a) hat, nicht definiert und 
werde bei Annäherung an dieselbe unendlich groß in der Weise, 
daß lim f{x) = -f- oo und lim f (x) = — oo oder umgekehrt; 
x=a—0 x=a+0 
dann ist fia) ein Extrem und zwar ein Maximum, wenn f ix) 
sich in der erstgedachten Weise verhält, ein Mi- Fig. 28. 
nimum, wenn es das umgekehrte Verhalten zeigt. 
Die Begründung hierfür ist dieselbe wie 
vorhin. 
Der Übergang vom Wachsen ins Abnehmen 
oder umgekehrt äußert sich bei geometrischer 
Darstellung jetzt so, daß die beiden bei x = a zusammenstoßen 
den Teile der Kurve eine zur w-Achse parallele Tang-ente haben 
(Fig. 28). 
Eine solche Erscheinung weist beispielsweise die durch 
aus stetige Funktion 
fix) = h + \\x — a) 2 
auf, indem ihr Differentialquotient 
m-r17-1=, 
3 yx — a