Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Funktionen. 309 
positive Zahl rj feststellen lassen derart, daß für den Fall eines 
Maximums 
(1) f{a -j- h, b -f Je) — f{a, b) <T 0, 
und für den Fall eines Minimums 
(2) f{a -f- h, b Je) — b) O 0 
für alle Wertverbindungen hjk, für welche gleichzeitig 
| Ä | < 1? 1 Ji i < ^7 
ausgenommen die Wortverbindung 0/0. 
Legt man die geometrische Darstellung des Gebietes P 
zugrunde (Fig. 29, (47)), so ist durch jede Wertverbindung 
Ji/Jc eine durch den Punkt a/b laufende 
Gerade S bestimmt, und verfolgt man die 
Funktion längs dieser, so besagen die Re 
lationen (1), (2), f[x, y) sei dabei an der 
Stelle a/b ein Maximum, bzw. ein Mini 
mum; und dies muß der Definition gemäß 
für jede durch ajb gebende Gerade gelten. 
Man kommt hiernach zu dem Schlüsse, daß die Funktion 
fix, y) an der Stelle ajb nur dann einen extremen Wert haben 
kann, wenn fia, b) bei Verfolgung der Funktionswerte in jeder 
durch a/b gehenden Geraden ein Extrem darstellt. 
Hierzu ist vor allem notwendig, daß der totale Differen 
tialquotient (47, (7)): 
df df 
df 
-j— z== cos cp -f- cos f, 
ds dx dy 7 
dx 
gebildet für die Stelle alb, in jeder Richtung, also für jede 
Wertverbindung cos cp, cos (die übrigens der Bedingung 
cos 2 cp + cos 2 rp = 1 zu genügen hat), gleich Null sei, und dies 
wieder findet nur dann statt, wenn an der Stelle a/b 
^ = 0 
dx ’ 
d_l 
dy 
= 0 
(3) 
ist. 
Daraus ergibt sich der Satz: Diejenigen Stellen, an welchen 
die FunJdion fix, y) einen extremen Wert besitzt, sind unter den 
Lösungen des Gleichungspaares 
d_f 
dx 
= 0, 
dl 
dy 
= 0 zu suchen.