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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Es sei nun a/b eine aus diesen Gleichungen hervorgegangene 
Lösung. Zur weiteren Entscheidung werde der zweite totale 
Differentialquotient (54, (4)): 
( 4 ) % - 0 COsS V + 2 Wh! C0S C0S * + 0 COs2 * 
für die Stelle ajb herangezogen; er muß, soll f(a, b) ein Maxi 
mum sein, für alle Richtungen negativ, und soll f{a, b) ein 
Minimum sein, für alle Richtungen positiv sein. Dazu ist vor 
^2 i 1 ^2 / 
allem erforderlich, daß weder „ 2 noch ( 2 verschwinde; denn 
•• O •• A d ' 2f ftf , * A " d * f n 
wäre = 0, so wurde = 0 lur ip = und wäre = 0, 
d% f ft d* f 
so würde = 0 für cp = — • Nun ist, wenn =|= 0, 
av dv 
dx 2 ds 2 
d*f d*f 
/a 2 A 2 s . 0 av a 2 /- 
-fe?) cos > + 2 ^^ COS9,OOS, '’ + »5 r V COi f ’ 
und nach Ergänzung der beiden ersten Teile der rechten Seite 
zu einem vollständigen Quadrat: 
av dY 
a« 2 ds 2 
(5) 
av , aY 
5—, cos cp -f- ■, X— cos 
dx* ^ dxdy 
,n 2 , fd 2 f d 2 f [ d 2 f \ 2 1 2 . 
~dx*~dy* Va«a2/)J C0S 
d 2 f 
jetzt läßt sich darüber entscheiden, unter welcher Voraus 
setzung die rechte Seite, also auch die linke Seite, also auch 
dY 
. ( in allen Richtungen ein und dasselbe Vorzeichen hat. Die 
ds- ° 
hinreichende und notwendige Bedingung hierfür ist nämlich, 
daß an der Stelle alb 
(6) 
sei. 
aY aY _ / 2Y \* 0 
dx 2 dy 2 \dxdy] 
Daß diese Bedingung hinreichend ist, erkennt man so 
gleich; denn besteht sie, so ist der Ausdruck auf der rechten 
d 2 f 
Seite von (5) für alle Richtungen positiv und es hat somit . a 
beständig das nämliche Vorzeichen wie 
Daß die Bedingung auch notwendig ist, ergibt sich auf 
folgende Art. Wäre 
_aY ay / aY \y n 
dx 2 dy 2 \dxdy) ’