Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Funktionen. 315 
Die Anwendung des zweiten Teiles dieses Satzes kann in 
speziellen Fällen häufig entfallen, wenn nämlich aus der Natur 
der Aufgabe selbst zu erkennen ist, ob es sich um ein Maxi 
mum oder ein Minimum handeln kann. 
123. Beispiele. 1) Es sind die extremen Werte der 
Funktion 
f(x, y) = ax 2 + 2hxy -f- cy 2 + 2gx + 2hy + Je 
zu bestimmen. 
Die beiden für einen extremen Wert notwendigen Be 
dingung sgleichungen; 
tt = ax + by + g = 0 
¥ % = hx + °y + h = 0 
liefern nur dann ein bestimmtes Wertsystem für x, y, wenn 
die Determinante 
ac — h 2 =(= 0 
ist, und zwar ist dieses Wertsystem 
bh — cg hg — ah ^ 
a '° ac — b 2 ’ ac — b 2 ’ 
ihm entspricht aber nur dann ein extremer Wert, wenn der 
Ausdruck 
d 2 f d 2 f _ / d'f \ ä 
dx 2 dy 2 \dx dyi ’ 
der hier den von x, y unabhängigen Wert 
4z(ac - h 2 ) 
hat, positiv ist, wenn also 
ac - 6 2 > 0; 
und zwar ist f(x 0 , y 0 ) ein Maximum, wenn a, c negativ, und 
die beliebig groß sein können. Mit der in der Fußnote zu 121 ein 
geführten Terminologie drückt sich die zweite Bedingung dahin aus, daß 
die mit den «Variablen | 2 , . . . g n gebildete quadratische Form 
d 2 f 
dx, 2 
definit sein müsse.