Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Funktionen. 319 
ferner ist 
1 a 2 (d 2 ) 
2 du 2 — Kl 
JL W _ „ 
2 dv 2 2 
_i_ aw _ 
2 a^ a^ 
daher unabhängig von u, v 
2 
( 
+ ft 2 4- n 2 , 
+ ft 2 + y 2 i 
<h<*2 + ftft + 7l7 2 )> 
a 2 (d 2 ) a 2 (d 2 ) _ /a 2 (d 2 )\ 2 
a« 2 dv 2 \a « a 
= 4[(aft + ft 2 + 7i 2 )(«2 2 + ft 2 + 7 2 2 ) - («i«2 + ftft + 7i7 2 ) 2 ] 
= 4[(jS 1 y s - ft^) 2 + (^«2 - 72 K l) 2 + Ol ft — «2 ßl)*]’ 
also positiv; es findet hiernach wirklich ein Extrem statt und 
zwar ein Minimum, weil als Quadratsummen posi 
tiv sind. 
Um das Minimum seihst zu ermitteln, empfiehlt sich der 
folgende Vorgang. Aus den beiden Bedingungsgleichungen folgt 
A B = . 
ßl 72 — ft 7l 7l K 2 — 72 «1 K 1 ft — a 2 ft ’ 
bezeichnet man den gemeinsamen Wert dieser Brüche mit w, 
so ist einerseits 
min ö 2 = {(/ft 7 2 — /ft 7J 2 + (7i a 2 — y 2 aß) 2 + («j /ft — a 2 ft) 2 } w 2 , 
andererseits hat man zur Bestimmung von w die Gleichungen 
4L — (ft 7 2 ~ ft7i) w = -B— 0i«2 - 7 2 a i) w = °> 
C — («ift — a 2 ßß) w — 0, 
oder mit Rücksicht auf die Bedeutung von A, B, C: 
a x u — a 2 v — (ft 7 2 — ß 2 yß)w = a 2 — a t 
ß t u — ß 2 v — (7^2 — y2 a i) w = ft — ft 
7i M — 72^ — («ift — « 2 ft) w = ft — ft; 
hieraus folgt aber: 
CC 2 ff l — °2 
«1 «2 ft 72 - ft 7i 
w = 
ßl ft ft ft 
: 
ßl ft 7l«2-72 a l 
7l 72 ft ft 
7i 72 «ift — <ftft 
(ai — a 2 )(ßi72—ß2 7i) + (ft — ft)(7i «a — 7* K i) + (ft —c»)(«ift —«ift). 
(ft 7 2 — ft 7i) 2 + (7x «2 — 72 «i)* + («1 ft — «2 ft) 2