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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
124. Extreme Werte bei singulärem Verhalten der 
Differentialquotienteu. Die in 121 und 122 entwickelte 
Theorie hat zur wesentlichen Voraussetzung die Existenz 
eigentlicher partieller Differentialquotienten in bezug auf die 
einzelnen Variablen, wenigstens in der Umgebung der in Be 
tracht gezogenen Stelle. Eine Funktion mehrerer Variablen 
kann aber auch einen extremen Wert aufweisen an einer Stelle, 
an welcher solche Differentialquotieuten nicht bestehen*, die 
Entscheidung über einen derartigen Fall bedarf immer einer 
besonderen Untersuchung. 
Es sei beispielsweise 
Z = C ff Vo — ay ff {y — lf, 
und die Quadratwurzel gelte als positive Größe, Die partiellen 
Differentialquotienten von z, nämlich 
dz x — a dz y — h 
d x j/(x— «) 2 + Q/— b) s> dy j/(x — a) 2 ff (y — b) %7 
verlieren an der Stelle x = a, y = b ihre Bedeutung. Setzt 
man aber x = a -\- h, y — b k und bezeichnet die durch 
diesen Punkt und all) bestimmte Richtung mit S, mit qp, ^ 
ihre Richtungswinkel, so ist der totale Differentialquotient von 
z an der Stelle a ff h/b ff 7c 
dz h cos cp ff k cos 
ds ~ \'h- ff k~ ’ 
er ändert sein Vorzeichen, wenn h, k zugleich es ändern, d. h. 
wenn man auf S von einer Seite des Punktes ajh auf die 
andere übergeht. Deshalb gehört zu ajb ein extremer Wert 
und derselbe ist 
z = c; 
als der kleinste unter allen Werten von z ist er ein Minimum. 
§ 3. Maxima und Minima von Funktionen mehrerer 
abhängiger Variablen. 
125. Begriff der relativen Extreme und ihre Be 
stimmung. Wenn von den extremen Werten einer Funktion 
f{x, y, z) dreier Variablen in dem bisher besprochenen Sinne 
die Rede ist, so kommen dabei alle Werte der Funktion in 
Betracht, welche sie in ihrem Definitionsbereich H annimmt.