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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
die nämlichen wie die Bedingungen für absolut extreme Werte 
der mit den Konstanten X, g gebildeten Funktion f -\- Xcp -f gf. 
Die hierin enthaltene Regel für die Behandlung von Pro 
blemen über bedingte Extreme wird als Methode der Multipli 
katoren bezeichnet. 
Wenn auch die Kenntnis der Multiplikatoren nicht not 
wendig ist und kein unmittelbares Interesse bietet, so empfiehlt 
sich ihre Mitbestimmung doch in vielen Fällen um der Sym 
metrie der Rechnung willen. 
Oh an einer aus den Gleichungen (7) hervorgehenden 
Stelle xjyjzju die Funktion f wirklich einen größten oder 
kleinsten Wert erreicht, ist in angewandten Fällen zumeist 
aus der Natur der Aufgabe zu erkennen; sollte ein Zweifel 
hierüber bestehen, so müßte das zweite Differential d 2 f zur 
Entscheidung herangezogen werden, aber wieder in der Art, 
daß auch den Bedingungsgleichungen Rechnung getragen wird. 
Zu diesem Zwecke hätte man die betreffende Wertverbindung 
xlylzju in die Gleichungen (3) einzuführen, sodann dz, du, 
durch dx und dy auszudrücken und diese Werte nebst x/y/z/u 
in d 2 f einzutragen; fällt d 2 f verschieden von Null aus und ist 
sein Vorzeichen unabhängig von dx, dy, so ist durch dieses 
Vorzeichen die Frage in der bekannten Weise gelöst. 
126. Beispiele. 1) Die kürzeste Entfernung eines ge 
gebenen Punktes von einer gegebenen Ebene zu bestimmen. 
Der Punkt sei durch die Koordinaten x Q /y 0 !z 0 und die 
Ebene durch die Gleichung 
Ax -j- By -(- Gz -f- B = 0 
gegeben. Als diejenige Funktion, deren Minimum zu bestimmen 
ist, kann 
+ 0 - VoY + (* - ^o) 2 
gewählt werden; die durch x, y, z zu erfüllende Bedingung 
lautet 
Ax + By -f Gz -f- JD = 0; 
demnach kommt es auf das absolute Minimum der Funktion 
{x — xff + {y - y o y + {z — z o y - 2X(Ax + By + Gz + D)