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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
4) Es sind n Punkte M i (i = 1, 2, . . . n) im Raume ge 
geben und jedem derselben ist eine positive Zahl m i zugeordnet. 
Man soll diejenigen Ebenen bestimmen, bezüglich deren die 
Summe der mit den Zahlen m i multiplizierten Quadrate der 
Abstände der Punkte M i extreme Werte annimmt. 
Legt man ein rechtwinkliges Koordinatensystem zugrunde, 
bezeichnet mit xjy i jz i die Koordinaten von M i und schreibt 
die Gleichung der Ebene in der Hesseschen Normalform 
0) a% + brj + c£ — p = 0, 
in welcher a, b, c die Richtungskosinus des Lotes zur Ebene 
bedeuten, so daß 
(ß) a 2 + b 2 -(- c 2 = 1 
ist, so verlangt die Aufgabe, die Parameter a, b, c, p der Ebene 
so zu bestimmen, daß 
T-^rnJXitt + ylj + z t c -p) 2 
einen extremen Wert annimmt, unter Berücksichtigung der Be 
dingungsgleichung (ß). 
Für die absoluten Extreme der Funktion 
T-l{a 2 + b 2 + c 2 - 1) 
bestehen die folgenden Bedingungen*): 
Emx(xa yb -f- zc — p) — Xa — 0 
Emy(xa -f- yb -f zc — p) — Ib =0 
Emzixa -f yb 4- zc — p) — 1c = 0 
Em{xa -f- yb + zc — p) =0, 
welche mit Zuhilfenahme der Abkürzungen 
Emx 2 = A Emy 2 = Ä Emz 2 = A" 
Emyz = B Emzx = B' Emxy = B" 
auch in folgender Anordnung geschrieben werden können: 
(A — A)a -j- B"b -f- B'c —pEmx=0 
/ \ B"a -f (A' — X)b + Bc — pEmy = 0 
{ - r) B'a + Bb + (A"~ X)c-pEmz = 0 
aEmx -(- bEmy + cEmz — pEm = 0; 
*) Der Summationsbuchstahe i bei m, x, y, z soll von hier ab unter 
drückt werden.