Sechster Abschnitt. 
Anwendung der Differential-Rechnung auf die Untersuchung 
von Kurven und Flächen. 
A. Ebene Kurven. 
§ 1. Die Tangente und die Normale. 
127. Analytische Darstellung der ebenen Kurven 
und ihre Einteilung. Die Lage eines Punktes M in der 
Ebene ist durch zwei Zahlen bestimmt, im rechtwinkligen 
Koordinatensystem, das wir zunächst zugrunde legen, durch die 
Abszisse x und die Ordinate y. Sind x, y variabel und als 
eindeutige stetige Funktionen*) einer Hilfsvariablen oder eines 
Parameters u gegeben: 
(1) x = (p{u), y = ^{u), 
so beschreibt, während u das Intervall, für welches diese Funk 
tionen definiert sind, durchläuft, der Punkt M eine Kurve in 
der Ebene des Koordinatensystems, eine ebene Kurve oder eine 
Plankurve. Die Gleichungen (1) heißen die parametrischen 
Gleichungen der Kurve. Einem besonderen Werte von u ent 
spricht ein bestimmter Punkt der Kurve, der mit M(u) oder 
M{x/y) bezeichnet werden soll. 
Es kann indessen auch unmittelbar y als eindeutige stetige 
Funktion von x gegeben sein; 
(2) y = f(x), 
und dann beschreibt M eine Kurve, indem x stetig das Inter 
vall durchläuft, auf welchem f gegeben ist. 
Der Zusammenhang zwischen den variablen Koordinaten 
kann aber auch durch eine Gleichung von der Gestalt 
(3) F(x, y) = 0 
*) Über die Natur dieser Funktionen werden weiterhin noch andere 
einschränkende Voraussetzungen hinsichtlich ihrer Differentiierbarkeit ge 
macht werden, ohne daß dies immer ausdrücklich hervorgehoben würde.