Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 339 
bestimmt sein, vermöge deren sowohl y als Funktion von x 
wie auch umgekehrt x als Funktion von y aufgefaßt werden 
kann; hält man an dem ersteren fest, so kann noch y eine ein 
deutige oder eine mehrdeutige Funktion vorstellen; in letzterem 
Falle entspricht jedem Zweige der Funktion (57) auch ein 
Zweig der Kurve. 
Die Untersuchung des Verlaufs einer ebenen Kurve kommt 
also vom Standpunkte der Analysis zurück auf die Betrachtung 
des Verlaufs einer Funktion einer stetigen Variablen, die ex 
plizite oder implizite gegeben ist, oder auf die Betrachtung der 
gleichzeitigen Änderungen zweier solcher Funktionen. 
Die parametrische Darstellung (1) ist für allgemeine Unter 
suchungen die geeignetste. Sie kann aus den beiden anderen 
Darstellungsformen gewonnen werden, indem man x einer 
passend gewählten Funktion einer Hilfsvariablen u gleichsetzt, 
diese in (2), respektive (3) an Stelle von x einführt, wodurch 
auch y, explizite und implizite, als Funktion von u gegeben ist. 
Umgekehrt ergibt sich aus der parametrischen Darstellung 
(1) eine der beiden anderen Darstellungsformen, indem man 
zwischen den beiden Gleichungen (1) u eliminiert. 
Für die Einteilung der Kurven ist die Gleichungsform 
Fix, y) = 0 maßgebend. 
Ist Fix, y) eine algebraische Funktion, so heißt die Kurve 
algebraisch; insbesondere läßt sich dann immer bewirken, daß 
F(x, y) eine ganze Funktion von bestimmtem Grade n sei (13); 
alsdann wird die durch die Gleichung dargestellte Kurve eine 
algebraische Kurve n-ter Ordnung genannt. Die Ordnung bildet 
den wesentlichsten Einteilungsgrund der algebraischen Linien. 
Die Gerade als algebraische Linie erster und die Kegelschnitte 
als algebraische Linien zweiter Ordnung sind aus den Elementen 
der analytischen Geometrie bekannt. Darüber hinaus pflegt 
man von höheren algebraischen Linien zu sprechen. 
Eine Kurve, deren Gleichung in x, y nicht algebraisch ist, 
wird als transzendente Kurve bezeichnet.*) Bei der unüber- 
*) Die Einteilung in algebraische und transzendente Kurven stammt 
von Descartes, einem der Begründer der analytischen Untersuchungs 
methode in der Geometrie; die Namen gab Leibniz. Bis dahin sprach 
man, um den Unterschied hervorzuheben, von geometrischen und mecha-