Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 341 
daß sie sieb, yon der Stelle xjy aus nach der Taylorseben 
Formel entwickeln lassen, so ist (92, (11)) 
/72 /v» 
Ax = dx + ^ + • • • 
Ay = dy + y^2 + ’ ' ' > 
und hiermit wird 
Adx -\-Bdy -f 1 (Ad 2 x -f- Bd 2 y) -f • • • 
ß ^ ^ , 
Ya 2 +b~ 2 
Im allgemeinen ist also ö von der Ordnung der Größe du 
welche die Änderungen Ax, Ay von x, y berbeigefübrt bat, 
und die wir als die erste Ordnung festsetzen wollen. Nur 
dann ist d von höherer Ordnung, wenn 
oder 
Adx -f- Bdy = 0 
A : B = dy : — dx; 
die diesem Yerhältnisse entsprechende Gerade (4), d. i. 
(5) (| — x) dy — (jj — y) dx = 0, 
ist also unter allen diejenige, welcher die Kurve in der Um 
gebung von M am nächsten kommt; es ist dies aber die Tan 
gente, weil ihr Richtungskoeffizient ^ der Differentialquotient 
von y in bezug auf x ist. 
Ist die Kurve durch das Gleichungspaar (1) bestimmt, so ist 
dx = <p' (u)du, dy = Y'{u)du 
und es lautet die Gleichung der Tangente im Punkte xjy 
(6) 
rj~y = 
Y(m) 
cp'(u) 
(S - *0; 
war die Kurve durch (2) dargestellt, so hat man 
dy = f'(x) dx 
und als Gleichung der Tangente 
(7) y - y = f'(x) (| — x)- 
für eine durch (3) gegebene Kurve endlich ist vermöge 
™ dx + dy = 0 
dx dy J