Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential Rechnung usw. 349 
a) Zykloiden. Polbahn sei die Gerade X'X (Fig. 36), Pol 
kurve der Kreis K 0 , der durch Rollen um den Wälzungs 
winkel u in die Lage K gelangt. Der beschreibende Punkt, 
der ursprünglich die Lage M 0 bzw. M 0 ^ x \ hatte, befindet 
sich jetzt in M bzw. M( 2) . Bezeichnet man seine Ent 
fernung vom jeweiligen Mittelpunkt C 0 bzw. C mit &, den Ra 
dius des Kreises mit a, so ist das Erzeugungsgesetz durch den 
Ansatz Mg. 3G. 
OB = arc MB = au 
gekennzeichnet. Wählt 
<D 
man also X'X als Ab- jfi 
szissenachse und legt die 
Ordinatenach.se durch 
C 0 , so findet man aus 
der Figur, diedienötigen 
Konstruktionslinien für 
den Punkt enthält: A l\p\M a j>“-) B 
y = a — h cos u 
( 15 ) . * 
x — au — o sin u 
als parametrische Gleichungen der Zykloiden; bei h < a ist es 
die verlängerte, M^N^, bei h > a die verkürzte, M 0 ^N^\ 
bei h = a die gemeine, M 0 N: 
x = a (u — sin u) 
( 15 *) y-0(1- OOS«). 
Wegen der Periodizität der trigonometrischen Funktionen 
bestehen die Zykloiden aus unendlich vielen gleichen Asten, 
deren einer erhalten wird, wenn man u das Intervall (0, 2tc) 
durchlaufen läßt. 
Daß es transzendente Kurven sind, erkennt man durch 
Elimination von ir : sie führt bei den Gleichungen (15) auf 
x'~ 
i a — y 
x = a Are cos — 
h 
Bei der gemeinen Zykloide variiert y zwischen 0 und 2 a, 
bei der verlängerten zwischen a — h und a -\-b, bei der ver 
kürzten zwischen — (h — a) und h -f- a. 
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