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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
der Gestalt z = F(x, y) zum Ausdruck. Der Bereich, von x, y 
kann in einfachster Weise dadurch bestimmt sein, daß x auf 
ein Intervall (a, b), y auf ein Intervall (c, d) angewiesen ist; 
es bilden dann die Verbindungen eines jeden Wertes aus (a, &) 
mit einem jeden Werte aus (c, d) den Bereich von x, y. 
Diese Definition kann auf beliebig viele Variablen aus 
gedehnt werden; man nennt u eine Funktion der Variablen 
x x , x 2) ... x n , wenn jeder Wertverbindung xjxj. . . ¡x n dieser 
Variablen aus einem vorgeschriebenen Bereich ein bestimmter 
Wert von u zugeordnet ist. Die allgemeine Bezeichnung hie- 
für ist u = & (x x , x 2 , ... x n ). 
Im übrigen gelten über die Funktionen zweier und meh 
rerer Variablen zunächst die nämlichen Bemerkungen, wie sie 
für Funktionen einer Variablen gemacht worden sind. 
12. I mplizite, explizite, inverse Funktionen. Es 
sei z = F(x } y) eine analytisch definierte Funktion der beiden 
reellen Variablen x, y. Gibt es solche reelle Wert Verbindungen 
xjy der letzteren, welchen der Wert 0 von z zugehört, so ist 
ihre Gesamtheit durch die Gleichung 
(1) F(x, y) = 0 
bestimmt. Vermöge dieser Gleichung ist eine Zuordnung der 
Werte von x und y oder eine gegenseitige Abhängigkeit dieser 
Variablen gegeben, und man kann ebensowohl y als Funktion 
von x wie auch x als Funktion von y betrachten; in jedem 
Falle setzt die Bestimmung zusammengehöriger Werte die Auf 
lösung einer Gleichung voraus. Man sagt in einem solchen 
Falle, jede der beiden Variablen x, y sei implizite als Funktion 
der andern gegeben. 
Dem steht die explizite gegebene Funktion gegenüber, 
deren Wert aus dem jeweiligen Werte der Variablen durch 
einen vorgeschriebenen Komplex von Rechenoperationen zu 
gewinnen ist; man schreibt eine solche in der Form y = f(x) 
an und hat sich unter f(x) einen analytischen Ausdruck vor 
zustellen, in welchem x als Rechenelement erscheint (10). 
Wenn es möglich ist, die Gleichung (1) allgemein, d. L 
für unbestimmte Werte von x und y nach diesen aufzulösen, 
so daß einmal y = cp{x), ein zweitesmal x — ih(y) erhalten 
wird, so h 
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13. D 
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