Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 351 
bei a < r ist es die verlängerte, bei a > r die verkürzte, bei 
a = r die gewöhnliche Epizjkloide. 
Es bedarf nur der Zeichenänderung bei r und a, um zu 
den Gleichungen der Hypozyldoiden zu kommen: 
x = {R — r) cos u -f- a cos ——- u 
( 18 ) r7? v . . B — r 
y = [R — r) sin u — a sin r w; 
auch hier sind die obigen drei Fälle zu unterscheiden. 
Ist das Verhältnis der Radien R : r rational, so kehrt der 
rollende Kreis nach einer bestimmten Anzahl von Abwälzungen 
wieder in seine ursprüngliche Lage zurück, die Zykloide be 
steht aus einer endlichen Anzahl gleicher Aste und ist alge 
braisch. Ist das Verhältnis aber irrational, so kehrt der rollende 
Kreis niemals in seine Anfangslage zurück, die Anzahl der 
Aste ist unbegrenzt, die Zykloide transzendent. 
Zur Illustration die folgenden drei Beispiele. 
Die gewöhnliche Epizykloide, bei der r = R ist, hat die 
parametrischen Gleichungen 
x = 2r cos u — r cos 2u 
y == 2r sin u — r sin 2u 
und nach der Translation £ = r-)-£, y = y des Koordinaten 
systems die Gleichungen: 
| = 2 r cos u (1 — cos u) 
tj = 2 r sin u (1 — sin u); 
eliminiert man zwischen beiden den Parameter u, so kommt 
man zu der Gleichung; 
(19) (| 2 + v 2 y + 4r£(| 2 + rf) ~ 4rV = 0, 
diese Epizykloide ist also eine algebraische Kurve 4. Ordnung 
(Kardioide). 
Die gewöhnliche Hypozykloide, bei der r = y, hat die 
Gleichungen: 
x = R cos u 
y = 0; 
dieselben stellen den in der Abszissenachse liegenden Durch