Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 357 
löst man sie nach x, y auf und setzt die Werte in die Parabel 
gleichung ein, so ergibt sich 
(I 2 + i? 2 )£ = arf 
als Gleichung der Fußpunktkurve; diese also ist eine Zissoide 
(129, 2)). 
2) Die Fußpunktkurve der gleichseitigen Hyperbel in be 
zug auf ihren Mittelpunkt zu 
bestimmen. 
Die gleichseitige Hyberbel 
(Fig. 39), auf ihre Achsen be 
zogen, schreibt sich: 
x 2 — y 2 = a 2 , X 
und die Gleichungen (25) und 
(26) heißen jetzt: 
+ yy = i 2 + rf, 
Xy] J r yt= 0; 
durch Einsetzung der hieraus für x, y errechneten Werte in 
die Hyperbelgleichung entsteht 
(22) (| 2 + ^-a 2 (^-^)=0; 
die Fußpunktkurve ist somit eine algebraische Kurve vierter 
Ordnung und heißt Lemniskate (des Bernoulli*). 
Uni ihre Form zu erkennen, führen wir den Parameter u 
mittels der Substitution 
rj = u% 
ein und erhalten die parametrischen Gleichungen 
— CL 
y 1 — U 2 
1 -\-u* ’ 
rj = ±a 
u |/l — u 2 
l-fit 2 ’ 
wonach, da die Zeichen einander entsprechen, zu jedem Werte 
von u aus dem Intervalle (— 1, +1) zwei in bezug auf den 
Ursprung symmetrisch liegende Punkte gehören; da ferner zu 
entgegengesetzt gleichen Werten von u gleiche Werte von £, 
aber entgegengesetzt gleiche von y gehören, so ist die Kurve 
symmetrisch in bezug auf die Achsen. Eine Ausnahme machen 
*) Jakob Bernoulli, Acta erudit. 1694.