Sechster Abschnitt, Anwendung der Differential-Rechnung usw. 373 
und gehört der Punkt der Kurve an, so ist y— ax— ß — v, 
also 
Y1 -j- cc 2 
und dies konvergiert voraussetzungsgemäß gegen Null, wenn x 
unbeschränkt wächst. Übrigens läßt auch die andere Auffassung 
die Richtigkeit der Behauptung erkennen: denn v ist die Ordi- 
natendifferenz von Kurve und Gerade. 
Die Bedingungen des obigen Satzes sind erfüllt, wenn sich 
y nach fallenden Potenzen von x entwickeln läßt und wenn die 
Entwickelung mit der ersten oder nullten Potenz anhebt; in 
dem letztgedachten Falle ergibt sich eine zur x-Achse parallele 
Asymptote. 
139. Zweite Definition. Man kann bei einer ins Un 
endliche fortsetzharen Kurve auch folgende Betrachtung an 
stellen. Verzeichnet man im Punkte M an die Kurve die Tan 
gente, so wird diese hei unbegrenzt fortschreitender Bewegung 
von M auf der Kurve Richtung und Lage ändern und kann 
dabei einer festen Geraden als Grenze sich nähern. Ist dies der 
Fall, so wird diese feste Gerade als Asymptote bezeichnet. 
Demnach hat man die folgende Definition: 
Als Asymptote erldärt man auch die Grenzlage einer Tan 
gente hei unaufhörlich fortschreitender Bewegung des Berührungs 
punktes auf der Kurve. 
Die Existenz einer Grenzlage der Tangente 
O O 
rj — y = y'(% - x) 
erfordert zweierlei: es muß ihre Richtung einer bestimmten 
Richtung als Grenze sich nähern, also y' einen bestimmten 
Grenzwert besitzen, und es muß auch der Abschnitt auf der 
Ordinatenachse, d. i. y — xy, gegen einen bestimmten Grenz 
wert konvergieren; nur wenn beides zutrifft, ist eine Grenzlage 
(3) y = Ax -f B 
vorhanden, und zwar ist 
(4) A = lim y, B = lim (y — xy) für x = oo.