Full text: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung (1. Band)

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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Mg. 51. 
141. Zurückführung der Untersuchung der unend 
lich fernen Punkte auf Punkte im Endlichen. Es sei 
f(x, y) = 0 eine Kurve mit unendlich fernen Punkten. Durch 
Anwendung der projektiven Transformation (64, II): 
( 7 ) ^=3, Vi = y x 
gehe sie in die Kurve F(x lf yß) = 0 über. Aus der Trans 
formation geht aber hervor, daß für x = oo x t = 0 wird, daß 
also den unendlich fernen Punkten von f die 
Schnittpunkte von F mit der Ordinatenachse 
entsprechen (ausgenommen Punkte, die bei end 
lichem x ein unendliches y haben). 
Aus dem unendlichen Zweig von f sei der 
Kurvenzweig F (Fig. 51) geworden; dann ent 
spricht also sein Punkt M i (ofa) dem unendlich fernen Punkte 
von f. Existiert in M x eine Tangente an F, so ergibt sich 
ihr Richtungskoeffizient ß als Grenzwert des Quotienten - 1 
für lim x x = 0, wenn x x !y x die Koordinaten eines beliebigen 
Punktes Mß von F bedeuten; mithin ist 
Y 
3 
3^3 
0 
Vx — <*■ 
x. 
ß + v, 
wobei v eine Funktion vorstellt, die mit lim x x = 0, also lim x = oo, 
zur Kuli konvergiert; hieraus ergibt sich 
y x = ßx t + a -f- x x v, 
daraus durch Rücktransformation 
+ « + — 
x x 
und schließlich 
y = ccx -f ß + v. 
Demnach ist die Gerade y = ccx -f ß, die Transformierte 
der Tangente M X T X an F 1} Asymptote von f } und da bei der 
projektiven Transformation eine Tangente als Verbindungslinie 
zweier unendlich nahen Punkte wieder in eine Tangente über 
geht, so ist die Asymptote unter den gemachten Voraussetzungen 
auch Tangente im unendlich fernen Punkte von f. 
Ist f eine algebraische Kurve n-ter Ordnung, so ist nach 
64, II auch F eine algebraische Kurve w-ter Ordnung, und da
	        
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