376
Erster Teil. Differential-Rechnung.
Mg. 51.
141. Zurückführung der Untersuchung der unend
lich fernen Punkte auf Punkte im Endlichen. Es sei
f(x, y) = 0 eine Kurve mit unendlich fernen Punkten. Durch
Anwendung der projektiven Transformation (64, II):
( 7 ) ^=3, Vi = y x
gehe sie in die Kurve F(x lf yß) = 0 über. Aus der Trans
formation geht aber hervor, daß für x = oo x t = 0 wird, daß
also den unendlich fernen Punkten von f die
Schnittpunkte von F mit der Ordinatenachse
entsprechen (ausgenommen Punkte, die bei end
lichem x ein unendliches y haben).
Aus dem unendlichen Zweig von f sei der
Kurvenzweig F (Fig. 51) geworden; dann ent
spricht also sein Punkt M i (ofa) dem unendlich fernen Punkte
von f. Existiert in M x eine Tangente an F, so ergibt sich
ihr Richtungskoeffizient ß als Grenzwert des Quotienten - 1
für lim x x = 0, wenn x x !y x die Koordinaten eines beliebigen
Punktes Mß von F bedeuten; mithin ist
Y
3
3^3
0
Vx — <*■
x.
ß + v,
wobei v eine Funktion vorstellt, die mit lim x x = 0, also lim x = oo,
zur Kuli konvergiert; hieraus ergibt sich
y x = ßx t + a -f- x x v,
daraus durch Rücktransformation
+ « + —
x x
und schließlich
y = ccx -f ß + v.
Demnach ist die Gerade y = ccx -f ß, die Transformierte
der Tangente M X T X an F 1} Asymptote von f } und da bei der
projektiven Transformation eine Tangente als Verbindungslinie
zweier unendlich nahen Punkte wieder in eine Tangente über
geht, so ist die Asymptote unter den gemachten Voraussetzungen
auch Tangente im unendlich fernen Punkte von f.
Ist f eine algebraische Kurve n-ter Ordnung, so ist nach
64, II auch F eine algebraische Kurve w-ter Ordnung, und da