Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 385 
145, Asymptoten im Polarsystem. Um für eine 
auf ein Polarlcoordinatensystem bezogene Kurve 
(18) r = f{cp) 
die Asymptoten zu bestimmen, beachte man zunächst, daß für 
einen unendlich fernen Punkt r unendlich wird; man hat also 
jene Werte von qp zu bestimmen, für welche lim r = oo sich 
ergibt; die diesen Werten entsprechenden Strahlen weisen nach 
den unendlich fernen Punkten hin. 
Sei cp = cc ein solcher Wert und OU (Fig. 59) der zuge 
hörige Strahl; entspricht diesem eine Asymptote AB, so handelt 
es sich noch um ihre Entfernung von OU. 
Um sie zu bestimmen, fälle man MP senk 
recht zu OU; aus dem rechtwinkligen Drei 
eck OMP folgt dann 
MP = r sin {cc — cp), 
und konvergiert dieser Ausdruck für lim cp = a 
gegen eine bestimmte Grenze c, so stellt 
diese die Entfernung der Asymptote von 0 U dar, so daß 
(19) c = lim r sin (cc — cp). 
(p = a 
In dem Falle, wo OX selbst die Richtung nach dem unend 
lich fernen Punkte bezeichnet, ist 
(20) c = lim r sin cp. 
ip — o 
Aus dem Vorzeichen von c schließt man, auf welcher Seite von 
0 U die Asymptote gelegen ist; ist beispielsweise limr = + oo 
und fällt c positiv aus, so war und blieb schließlich a > cp, die 
Asymptote liegt rechts von 0 ü wie in der Figur; bei negativem 
c und unter sonst gleichen Umständen wäre sie links aufzutragen. 
Beispiele. 1) Bei der hyperbolischen Spirale (136, 2)) 
r = ~ (a > 0) 
wird lim r = -f- oo für lim cp = -f- 0; und da 
v . t sin CC 
lim r sin cp — a lim —— == a 
cp = 0 «p 
ist, so besitzt die Kurve eine zur Polarachse parallele Asymptote 
im Abstande a (Fig. 60). 
Czuber: Vorlesungen. I. 3. Aufl. 
Pig. 59. 
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