Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 387 
§ 3. Gestaltung einer Kurve in der Umgebung eines Punktes. 
146. Konkavität, Konvexität und Wendepunkte (in 
rechtwinkligen Koordinaten). Eine Kurve MG (Fig. 62) 
sei, auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem bezogen, durch 
die Gleichung y = f(x) gegeben. Auf ihr werde ein Punkt 
M 0 mit den Koordinaten x 0 /y 0 ins Auge gefaßt und in dem 
selben die Tangente M 0 T 0 konstruiert, deren Richtungskoeffizient 
mit y 0 ' bezeichnet werden möge. Die zu einer Abszisse x = OP 
gehörige Ordinate der Kurve heiße y, die zu Kg , 6 2. 
derselben Abszisse gehörige Ordinate der Tan- T m „ 
gente Y; die Differenz 
(1) S~y-Y 
ist eine Funktion von x, bezüglich deren 
(i) 
vorläufig bemerkt werden kann, daß sie für q 
X 
x = Xq verschwindet. Der Variablen x weisen 
wir zunächst ein Intervall (x 0 — h, x 0 -\- h) zu, innerhalb dessen 
d an keiner anderen Stelle außer x 0 Null wird, so daß die 
Tangente außer M 0 keinen anderen Punkt mit der Kurve ge 
mein hat. 
Für Y ergibt sich aus der Tangentengleichung 
Y -Vo = yd( x — x o) 
die Bestimmung 
Y = y 0 + y 0 \x - x 0 ) 
und hiermit nimmt d den Ausdruck 
$ = V -Vo — - x 0 ) 
an. 
Der Differentialquotient von d in bezug auf x, d. i. 
Y=y'~-y 0 ', 
(2) 
verschwindet gleichfalls an der Stelle x = x 0 ] die höheren 
Differentialquotienten von d stimmen mit den entsprechenden 
Differentialquotienten von y überein, indem 
Angenommen, d" = y" besitze an der Stelle x == x 0 einen 
von Null verschiedenen Wert y 0 "; ist dieser positiv, so sind 
die Kriterien für ein Minimum von d an der Stelle x = x 0