Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Eechnung usw. 389 
Die Beziehungen y 0 "=0, y 0 '"+0 bedingen aber einen 
extremen Wert von d' = y — y 0 ', also auch von y, weil y 0 r 
konstant ist; ist daher y 0 '" < 0, so ist y 0 ' ein Maximum, und 
ist y 0 "' > 0, so bedeutet y 0 ' ein Minimum. Im Wendepunkte 
hat also der Richtungskoeffizient, somit auch der Neigungs 
winkel der Tangente gegen die positive X-Achse, einen extremen 
Wert. 
Um alle Fälle, die möglich sind, zu erschöpfen, nehmen 
wir nun an, daß an der Stelle x 0 alle Differentialquotienten 
von d bis zum {p — l)-ten einschließlich verschwinden; von 
dem Vorzeichen des nächsten Differentialquotienten, von y 0 ^\ 
hängt dann das Verhalten der Kurve in der Umgebung von 
M 0 ah wie folgt (117): 
Ist p gerad und y^ > 0, so ist d an der Stelle x = x 0 
ein Minimum, in einer angebbaren Umgebung von M 0 also 
y > Yj die Kurve konkav nach oben. 
Ist p gerad und y^) <; 0, so ist ö an der Stelle x = x 0 ein 
Maximum, in einer angebbaren Umgebung von M 0 also y < Y, 
die Kurve konkav nach unten. 
Ist p ungerad, so hat ö an der Stelle x 0 keinen extremen 
Wert und der Punkt M 0 ist ein Wendepunkt. 
In diesen Sätzen sind die oben entwickelten Spezialfälle 
p = 2 und p = 3 mit inbegriffen. 
Soll also eine Kurve y = f(x) auf etwa vorhandene Wende 
punkte geprüft werden, so bilde man den zweiten Differential 
quotienten f"{x) und löse die Gleichung 
f\x) = 0 
auf; sind Wendepunkte vorhanden, so befinden sich ihre Ab 
szissen unter den Wurzeln dieser Gleichung; die weitere Ent 
scheidung haf aut Grund der obigen Sätze zu erfolgen. 
Weil ein Wendepunkt dadurch charakterisiert ist, daß für 
ihn y einen extremen Wert annimmt, so sind auch solche 
Stellen x in die Betrachtung einzubeziehen, an welchen y" un 
endlich wird; ändert y” bei Überschreitung einer solchen Stelle 
sein Vorzeichen, so ist hier y ein Extrem und die Kurve hat 
einen Wendepunkt (119, 2)).