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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Fig. 66. 
147. Konkavität, Konvexität und Wendepunkte (in 
Polarkoordinaten). Auf einer Kurve MC (Fig. 66), die auf 
ein Polarkoordinatensjstem bezogen ist, werde ein Punkt M Q 
mit den Koordinaten r 0 /qp 0 angenommen und in demselben an 
die Kurve die Tangente M 0 T 0 konstruiert; sie möge mit der 
Verlängerung M 0 L 0 des Leitstrabis den Winkel 6 0 einscbließen; 
cc 0 sei der Winkel, welchen das Lot OP 0 =p vom Pol zur 
Tangente mit der Polarachse bestimmt. Zu einer beliebigen 
Amplitude qp gehöre in bezug auf die Kurve der Radiusvektor r, 
in bezug auf die Tangente M 0 T 0 der Radius 
vektor P; dadurch sind zwei Punkte, M und 
Q, mit den Koordinaten r/qp, P/qp festgelegt. 
Wir befassen uns nun mit der Differenz r — P 
oder was hier zweckmäßiger erscheint, mit 
der Differenz 
(3) S ~T-Ti’ 
welche als Funktion von qp die Eigenschaft 
hat, an der Stelle qp = qp 0 zu verschwinden. 
Die Variable qp beschränken wir vorläufig auf ein so enges 
Intervall (qp — Ji, qp -f- ^)> daß d innerhalb desselben an keiner 
anderen Stelle verschwindet. 
Aus dem rechtwinkligen Dreieck OP 0 M 0 folgt: 
(4) p = r 0 cos (qp 0 — a 0 ) 
und mit Hilfe dieses Wertes weiter aus dem Dreieck OP 0 Q: 
(5) B- p 
so daß weiter 
d - 
cos (qp — a 0 ) ; 
cos (qp — a 0 ) 
P 
daraus ergibt sich durch Differentiation in bezug auf qp 
<5' = - ~ + 
sin (qp — tt 0 ) 
P 
und auch der Differentialquotient ö' verschwindet für qp = qp 0 ; 
l 
denn sein erster Teil nimmt den Wert — 
r 0 tg d 0 
an, und der zweite Teil erlangt wegen (4) den Wert 
sin (qp 0 _— a 0 ) = tg («Po — «o) = cotg 0 o = 1 
V r n r n r n tg 0 A 
(135,(35))