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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
ein Wendepunkt. Zur Bestimmung der Wendepunkte einer Kurve 
hat man also vor allem die Gleichung 
r 2 -(- 2r' 2 — rr” — 0 
(6) 
in bezug auf cp aufzulösen und dann das Vorzeichen der linken 
Seite in der Umgehung der Wurzeln zu prüfen. 
Beispiele. 1) Die hyperbolische Spirale 
a 
r = — 
<P 
ist; die Kurve ist in ihrem ganzen Verlaufe konkav gegen 
den Pol. 
2) Bei der in 145, 2) betrachteten Kurve 
acp 
qp — 1 
ist 
3 (qp i)(t 3 <p 2 2) 
(qp-W 
r 2 -f- 2/ 2 — rr” = a 
Das Vorzeichen dieses Ausdruckes hängt lediglich vom Zahler 
ab, und dieser ist positiv für alle negativen Werte von cp, da 
her der Kurventeil OF (Fig. 61) gegen den Pol beständig 
konkav. Im Gebiet der positiven Werte wechselt der Zähler 
sein Vorzeichen an der Stelle cp = l (Durchgang durch den un 
endlich fernen Punkt) und ferner an der einzigen reellen Stelle 
<p 0 = 1,695 ... (97°, 11) 
an welcher cp 3 — cp 2 — 2 verschwindet; und zwar ist er in dem 
Intervalle (0, 1 — 0) positiv, der zugehörige Kurventeil O’C 
gegen den Pol konkav; in dem Intervalle (1 -f 0, cp 0 ) negativ, 
der zugehörige Kurventeil DJ gegen den Pol konvex; von cp 0 
an bleibt der Zähler positiv, der Kurventeil JE gegen den Pol 
konkav. J selbst ist also ein Wendepunkt der Kurve. 
3) Es ist festzustellen, unter welcher Voraussetzung die 
parabolische Spirale (vgl. 134, 1)) 
Wendepunkte besitzt. 
In diesem Falle ist 
r 2 -f 2/ 2 — rr” — a 2 <p 2n 2 {cp 2 + n 2 + w); 
dies erfährt zunächst einen Zeichenwechsel bei dem Durch