Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 397 
gange durch. Null, wenn 2n — 2 eine ungerade ganze Zahl 
oder einen Bruch mit ungeradem Zähler und Nenner bedeutet; 
in beiden Fällen ist aber n ein Bruch mit geradem Nenner 
und ungeradem Zähler, r daher nur für positive Werte von cp 
reell. Der Pol ist also in keinem Falle ein Wendepunkt. 
Bleibt nur die Möglichkeit eines Zeichenwechsels in cp 2 4- 
n 2 + n übrig, und ein solcher tritt nur ein, wenn n negativ 
und dem Betrage nach kleiner als 1 ist, und zwar beim Über 
schreiten der Stellen cp = + ]/— n — n 2 ; hiernach hat z. B. die 
Kurve r = einen Wendepunkt an der Stelle cp = (zu der 
Ü<jp 
Stelle cp = gehört ein imaginärer Radiusvektor), die Kurve 
1/2 
r = „ a deren zwei an den Stellen cp — 4- ü- • 
.)/ O 
y <P 
§ 4. Verhalten zweier Kurven in der Umgebung eines 
gemeinsamen Punktes. 
148. Begriff und Bedingungen einer Berührung 
%-ter Ordnung. Zwei Kurven C und C (Fig. 67), auf ein 
und dasselbe Koordinatensystem bezogen, seien durch die Glei 
chungen 
(C) y = fix) 
(C') V — cp ix) 
gegeben; beiden Kurven sei der Punkt M 0 mit den Koordi 
naten x Q /y 0 gemeinschaftlich, so daß 
y 0 = f( x o) 
y 0 = 
Die nachfolgende Betrachtung erstreckt sich 
auf ein solches Gebiet der Variablen x, 
Mg. 67. 
(1) 
innerhalb dessen es außer x 0 keine Stelle 
mehr gibt, an welcher die Ordinaten beider 
Kurven einander gleich sind. Von den Funk 
tionen f{x), cp ix) wird vorausgesetzt, daß sie auf dem betrach 
teten Gebiete endliche Differentialquotienten aller Ordnungen 
besitzen, die in Betracht kommen werden, und daher nach der 
Taylor sehen Formel entwickelbar sind.