Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 399 
Nun ergeben sieb, für die Ordinaten PM und P M' die 
Entwickelungen; 
/(*, + A) - fixo) + / 'f" ) h + f -f£- ¥+■■■ 
1 “ “ + 1 • 2 • • • (n + 1)' 
1 ■ 2 ■ • ■ w 
?>(*„ + h) - v{x 0 ) + h + ff A s + 
» w (^) , f ( " +1) 
1.2---» ■*" i.2.’.( n + l) w » 
und daraus mit Rücksicht auf (1): 
r d = [f\x 0 ) — qo'Oo)] 7 * + [f'W - <P"(^o31 iA 2 + ‘ ' ’ 
(2) 
+ [/ ,(n) W - 9> W Oo)] ! 
(,« +1 
+ + + Oh) - 5p(" + ‘)(* 0 + fl'*)] 1 . ä ... (B + 1) 
Wenn also die Funktionen f{x), (p(x) außer (1) keine 
weitere Beziehung aufweisen, so ist d eine Größe erster Ord 
nung, weil für lim h = 0 gegen die endliche von Null ver 
schiedene Grenze f(x 0 ) — y(x 0 ) konvergiert, und für dem Be 
trage nach genügend kleine h wechselt d mit h zugleich das 
Vorzeichen; infolgedessen haben die Kurven zu beiden Seiten 
von M 0 entgegengesetzte Lage gegeneinander. Man bezeichnet 
ein solches Verhalten der Kurven als einfaches Schneiden. 
Tritt zu (1) die weitere Beziehung 
(3) f(x 0 ) = q>'(x Q ), 
welche besagt, daß die Kurven im Punkte M 0 dieselbe Tan 
gente haben, so beginnt der Ausdruck für d mit dem Giiede 
zweiter Ordnung, d wird eine Größe der zweiten Ordnung und 
ändert innerhalb entsprechend enger Grenzen sein Vorzeichen 
nicht, wenn h es ändert; die Kurven haben also zu beiden 
Seiten von M 0 gleiche Lage gegeneinander. 
Kommt zu (1) und (2) die weitere Relation 
( 4 ) rw = <P"i x o), 
so beginnt die Entwickelung von d mit dem Giiede dritter Ord 
nung, von dieser Ordnung ist also auch d und ändert diesmal 
innerhalb entsprechend enger Grenzen mit h zugleich sein Vor-