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Erster Teil. Differential-Rechnung.
Zeichen; die Kurven haben daher zu beiden Seiten von M 0 ent
gegengesetzte Lage gegeneinander wie bei dem einfachen Schneiden.
Um zu einem allgemeinen Ergebnis zu gelangen, nehmen
wir an, daß die Differentialquotienten der Funktionen fix), q>(x)
an der Stelle x 0 bis zur Ordnung n übereinstimmen, so daß
weiter noch
(5) fW = ( p"'( x o)> • • • = T (,t) (^ 0 );
dann reduziert sich ff auf den Ausdruck:
d - 9») - ?. ( ” + I) 0«+ +
und ist eine Größe der (w-f-l)-ten Ordnung; denn, wofern f( n+1 \x),
q^ n+l ){x) in dem Intervalle (x 0 — h, x 0 + h) stetig verlaufen,
konvergiert das Verhältnis — + -£ für lim h = 0 gegen die end
liche von Null verschiedene Grenze
[/■ (n+1) (*o) - <P (M+1) (*o)] 1.2 • • \n + 1) ‘
Ist nun n ungerad, so ändert ff sein Vorzeichen nicht, wenn
h es ändert, die Kurven haben also zu beiden Seiten von M 0
gleiche Lage gegeneinander; ist dagegen n gerad, so wechselt
ff mit h zugleich sein Vorzeichen, die Kurven haben zu beiden
Seiten von M 0 entgegengesetzte Lage gegeneinander wie beim
einfachen Schneiden.
Sobald zu der Bedingung f(x 0 ) = cp{x 0 ) noch jene (3) hin
zutritt, haben die Kurven in M 0 eine gemeinsame Tangente
und man sagt, daß sie einander dort berühren. Der Grad oder
die Innigkeit der Berührung hängt ab von den weiter hinzu
tretenden Beziehungen. Man bezeichnet die Berührung als eine
solche von der n-ten Ordnung, wenn ff in bezug auf h von der
(n -}- 1 )-ten Ordnung oder der Quotient p von der ersten Ord
nung ist.*)
*) Im Sinne A. Caucliy’s wird die Berührung n-ter Ordnung wie
folgt definiert. Man beschreibe um den gemeinsamen Punkt M 0 , in
welchem die Kurven auch eine gemeinsame Tangente haben sollen, einen
genügend kleinen Kreis, der sie zu einer Seite der gemeinschaftlichen
Normale in den Punkten M, M' schneiden möge; die Ordnung, in welcher
der Winkel MM 0 M' unendlich klein wird, wenn man den Radius als
unendlich Kleines erster Ordnung festsetzt, bestimmt die Ordnung der
Berührung. Man vergleiche diese Definition mit der obigen.
