Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 401 
Auf Grund dieser Definition läßt sich der folgende Satz 
aussprechen: Die hinreichende und nokvendige Bedingung dafür, 
daß die Kurven y = f(x) und y = rp (x) in einem Punkte von 
der Abszisse x Q eine Berührung n-ter Ordnung auf weisen, be 
steht darin, daß die Ordinalen und deren Differentialquotienten 
bis zur n-ten Ordnung einschließlich an der Stelle x 0 einander 
gleich sind. 
Die Bedingungen für eine Berührung w-ter Ordnung drücken 
sich also analytisch in den n -f- 1 Gleichungen: 
f Oo) “ 9>'Oo); rw = <p"(?o)> ■ • • 
/■ (M) Oo) = <P {n \ x o) 
(6) 
aus. 
Zu bemerken ist noch, daß mit einer Berührung von ge- 
rader Ordnung ein Schneiden der Kurven verbunden ist, und 
daß das einfache Schneiden als eine Berührung der 0-ten Ord 
nung der Definition gemäß sich darstellt. 
149. Geometrische Interpretation einer Berührung 
n-ter Ordnung. Man kann der analytischen Definition einer 
Berührung w-ter Ordnung eine geometrische zur Seite stellen, 
zu welcher folgende Betrachtung führt. 
Die beiden Kurven C, C mögen außer dem Punkte M 0 
noch n weitere Punkte M x , M 2 , . . . M n mit den (arithmetisch 
aufsteigenden) Abszissen x 1} x 2 , . . . x n gemein haben, so daß 
CO 
t\xf) = (p(xf) (A = 0, 1,2,... n). 
Weil die Funktion f{x)— cp(x) an den Grenzen eines jeden 
der Intervalle (x 0 , xf), (x t , xf), . . . (x n _ 1} x n ) verschwindet, so 
existiert innerhalb eines jeden dieser Intervalle eine Stelle 
xf, xf, . . . xf_ x beziehungsweise, an welcher auch ihr Diffe- 
rentialquotient f'(x) — cp'(x) verschwindet (36), d. h. es ist 
(8) 
f W) = ¥(* = 0, 1, 2,... n -1). 
Weil die Funktion f'{x) — <p'(x) an den Grenzen eines 
jeden der Intervalle (xf\ aj 1 )), {xf, xf' 1 ), . . . xflf) Null 
ist, so gibt es innerhalb eines jeden mindestens eine Stelle 
xf), xf,... xf_ 2 beziehungsweise, an der ihr Differentialquotient 
f"{x) — (p"{x) verschwindet, so daß 
(9) 
rm = cp"(x f) (A = 0,1,2,... w— 2). 
0zuber, Vorlesungen. I. 3. Aufl. 
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