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Erster Teil. Differential-Rechnung, 
Indem man diese Schlußweise wiederholt anwendet, kommt 
man schließlich zu einer jedenfalls in dem Bereiche der Werte 
x 0 , x 1} . . . x n gelegenen Stelle an welcher auch noch 
(10) = (p(”)(xh n) ) 
ist. 
Wenn aber die Punkte M x , M 2 , ... M n in beliebiger Weise 
sämtlich gegen den Punkt M 0 als Grenze sich hinbewegen, so 
konvergieren X^ j X% y • • • Xund alle die sukzessiven Zwischen 
werte x§\ x^\ ...; xf>, x^\ x^ gegen den Grenzwert x 0 , 
an der Grenze wird also laut (7), (8), (9), (10): 
= <P Oo) > f 0»o) = <P'M > f" Oo) = <f" Oo), ■ ■ ■ 
f (n \xo) = 9 W Oo); 
hierdurch sind aber die Bedingungen für eine Berührung n-ter 
Ordnung erfüllt. 
Das Ergebnis kann in dem folgenden Satze ausgesprochen 
werden: Wenn zwei Kurven C und C' in einem Punkte M 0 
n + 1 vereinigt liegende Punkte miteinander gemein haben, so 
weisen sie dort eine Berührung n-ter Ordnung auf. 
Die Ausdrucksweisen: „n + 1-punktige Berührung“ und 
„Berührung w-ter Ordnung“ haben also denselben Inhalt. 
150. Oskulation. Von den beiden Kurven sei die eine, 
C, vollständig gegeben, die Gleichung der anderen, C', enthalte 
aber n + 1 unbestimmte Konstanten oder Parameter, welche 
auf die Lage der Kurve in der Ebene und ihre spezielle Form 
von Einfluß sind. 
Man kann der Kurve C' höchstens n -fl voneinander un 
abhängige Bedingungen auferlegen; bestehen diese darin, daß 
für eine Abszisse x 0 ihre Ordinate und deren Ableitungen bis 
zur n-ten Ordnung einschließlich mit den entsprechenden auf 
die Kurve C bezüglichen Größen übereinstimmen sollen, so hat 
die Kurve C' mit der Kurve C in dem zur Abszisse x 0 ge 
hörigen Punkte eine Berührung der w-ten, zugleich der höchst 
möglichen Ordnung, welcher sie nach der Zahl ihrer Para 
meter im allgemeinen fähig ist. Man sagt, die Kurve C'