Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 407 
baren Faden die Form des Bogens zu geben und ibn dann 
auszuspannen; in diesem Zustande gestattet er die Vergleichung 
mit einer Längeneinheit, was zur Bestimmung seiner Länge 
führt; diese Länge wird auch als Länge des Bogens erklärt. 
Diese Vorstellung läßt sich aber nicht analytisch ver 
werten. Um daher den Begriff der analytischen Behandlung 
zugänglich zu machen, bedarf er einer von jener Vorstellung 
unabhängigen Definition, die aber notwendig zu der allein 
direkt ausführbaren Messung gerader Linien zurückleiten muß. 
Wir formulieren diese Definition folgendermaßen; 
Ein Kurvenbogen besitzt dann eine Länge, wenn die Länge 
eines von dem einen Endpunkte des Bogens zum anderen ver 
laufenden Sehnenpolygons einem bestimmten Grenzwerte sich 
nähert, sobald die Zahl der Seiten beständig wächst und jede, 
einzelne Seite der Grenze Null zustrebt; dieser Grenzivert soll 
dann als Länge des Kurvenbogens erklärt werden. 
Der Nachweis, daß der Grenzwert besteht, sobald gewisse 
Bedingungen erfüllt sind, fällt in das Gebiet der Integral 
rechnung. Wir nehmen für die Kurven, welche wir in Betracht 
ziehen werden, diesen Grenzwert und somit den Begriff der 
Länge als vorhanden an. 
154. Das Bogendifferential in rechtwinkligen 
Koordinaten. Es sei 
(1) y = f\ x ) 
die Gleichung einer gegebenen, auf rechtwinklige Koordinaten 
bezogenen Kurve MC (Fig. 68); die Länge s des Bogens M 0 M, 
welcher von einem festen Punkte M 0 
und einem variablen Punkte M mit der 
Abszisse x begrenzt wird, ist eine ein 
deutige Funktion von x: 
(2) s = F(x). 
Obwohl wir diese Funktion nicht kennen, 
sind wir imstande, ihren Differential- 
quotienten in bezug auf x auf Grund der Gleichung der Kurve 
zu bestimmen. 
Der Abszisse x -j- h = OP' entspreche der Punkt M' der 
Kurve und der Bogen MM' = z/s sei eiförmig gekrümmt in