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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
dem Sinne, daß er beständig nach derselben Seite konkav ist. 
Konstruiert man in den Punkten M und M' die Tangenten 
MT und M’ T', so begrenzen diese mit der Sehne MM' ein 
Dreieck MM' Q, und nach einem schon von Archimedes be 
nützten Axiom ist 
MM' <z!s< MQ + QM'- 
da ferner MQ -(- QM' <C MIR! + R' M', so ist in verstärktem 
Maße 
MM' < zls < MR' + R’M'. 
Nun ist (38, (2)) 
MM’ ==yjfN 2 -f NM' 2 =yw + {f{x + Ji) _ fix)} 2 
= hyi+f'(x+ Oh)*: 
(3) MR' = MN- sec NMT = Ä]/l + ['{xf- 
und weiter, wenn f(x) an der Stelle x auch einen endlichen 
zweiten Differentialquotienten hat, 
R'M' = NM'— NR' = f{x + h) - f{x) — MN • tgNMT 
= hf'(x) + f" i x P &h) — hf'(%) = f"{x + ff/Q, 
wobei 6, ff unbestimmte positive echte Brüche bedeuten; durch 
Einsetzung dieser Ausdrücke verwandelt sich die obige Rela 
tion in 
(4) h]/l +f (x + OKj*< Js < hVl + f{x)' + f(x + #*), 
woraus 
yi + f(x + ehy < ^ <yi +f(x) s + ^ f’(x + &h). 
Unter der Voraussetzung, daß sich eine Umgebung von 
X angeben läßt, innerhalb welcher f{x) stetig sich ändert, 
konvergieren die beiden äußeren Ausdrücke für lim h = 0 gegen 
die gemeinsame Grenze ]/l+7'(X) 2 , und dies ist auch der 
Grenzwert des eingeschlossenen Quotienten, also der Differen 
tialquotient des Bogens in bezug auf die Abszisse, so daß 
(5) £ -V^+rW- 
Die Quadratwurzel ist positiv zu nehmen, wenn die An 
ordnung so getroffen ist, daß der Bogen s mit der Abszisse x 
zugleich wächst und abnimmt.