24 
Erster Teil. Differential-Rechnung. 
über a annehmen, so wird dies durch lim x = a + 0 oder 
kurz lim x = a angezeigt werden. 
Ist der Bereich der (stetigen) Variablen x unbeschränkt, 
und nimmt sie in beständiger Änderung begriffen schließlich 
Werte an, welche dem absoluten Betrage nach fortan größer 
bleiben als eine beliebig groß festgesetzte positive Zahl K, so 
sagt man, die Variable konvergiere gegen den (uneigentlichen) 
Grenzwert oo (Unendlich). Wie groß also auch K ist, von 
einem gewissen Augenblicke im Verlaufe der Änderung des x 
ist und bleibt 
\x\ >K. 
Behält dabei x, wenigstens von einem Momente an, das posi 
tive Vorzeichen, so wird dies durch lima; = + oo ausgedrückt, 
und bleibt es von einem Momente an fortwährend negativ, so 
schreibt man lim x = — oo. Der Ansatz lima? = oo soll gelten, 
wenn x während des Verlaufs seiner Änderung das Vorzeichen 
immer wechseln kann. 
15. Grenzwerte von Funktionen einer Variablen. 
Die Punktion y = f(x) ist in dem ganzen Intervall (a, ß) de 
finiert heißt so viel, daß zu jeder Stelle a des Intervalls 
(a a < ß) ein bestimmter Wert der Funktion, f(a), gehört, 
den wir als den JDeßnitionstvert an dieser Stelle bezeichnen 
wollen. Wesentlich verschieden davon ist die Frage nach dem 
Grenzwerte der Funktion bei einem Grenzübergange lim x — a. 
Während im ersten Fall nur der Funktionswert an der Stelle 
a in Betracht kommt, kommt es im zweiten Falle gerade auf 
diesen nicht, sondern nur auf die Machbarwerte an, welche 
die Funktion bei dem Grenzübergang annimmt. Die zweite 
Frage hat also auch dann Berechtigung, wenn fix) an der 
Stelle a nicht definiert ist. 
Wenn bei dem Grenzübergange die Werte von y derart 
verlaufen, daß der Unterschied y — 5 dem Betrage nach kleiner 
wird und bleibt als eine beliebig klein festgesetzte positive 
Zahl £, so sagt man, die Funktion habe bei dem Grenzüber 
gange den Grenzwert h. 
Um die Erscheinungen, die hierbei auftreten können, 
näher ins Auge zu fassen, wollen wir den Grenzübergang des 
x genauer präzisieren.