Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 413 
keiten in der Änderung des Winkels r zu jener des Bogens s 
als Maß der Krümmung oder kurzweg als Krümmung der 
Kurve im Punkte M. Bezeichnet man die Krümmung mit k, 
so ist hiernach 
(2) 
i . Ar dx 
lim — -7- 
7. = = = 
r As dts ’ 
lim — -7- 
j x = o Jx dx 
wofür auch kürzer geschrieben werden kann 
(3) 
1c — lim 
A x = 0 
Ar 
As 
dz 
ds 
Man nennt das Differential des Winkels x den Kontingenz 
winkel des zu dx gehörigen Bogenelements, weil dt bis auf 
unendlich kleine Größen höherer Ordnung als dx den Winkel 
bestimmt, welchen die Tangenten in den Endpunkten dieses 
Bogenelements miteinander einschließen. Damit ist die von 
dem Koordinatensystem unabhängige Definition gewonnen, die 
Krümmung einer Kurve in einem Punkte sei der Quotient aus 
dem Kontingenzwinkel durch das zugehörige Bogendifferential an 
der betreffenden Stelle der Kurve oder der 
Grenzwert, dem der Quotient aus dem 
Winkel Ax der Tangenten in M und M' 
durch den Bogen MM' selbst bei bestän 
diger Annäherung von M' an M zustreht. 
Aus der Gleichung (3) folgt: 
(4) ds = ~dx- 
dies besagt, daß das Bogendifferential und daher bis auf Größen 
höherer Ordnung auch das Bogenelement MM' selbst als Bogen 
eines Kreises vom Halbmesser und vom Zentriwinkel dx an 
gesehen werden kann. Bezeichnet man den Halbmesser dieses 
Kreises mit q und seine Krümmung in irgend einem Punkte 
mit k 1} so ist (Fig, 71) 
daher 
As 1 — qAx 1}