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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
beliebigen Bogen der Evolute einer gegebenen Kurve bloß mit 
Hilfe der Differentialrechnung zu bestimmen. 
Auf die durch (18) ausgedrückte Eigenschaft gründen sich 
die Namen Evolute und Evolvente. Befestigt man nämlich 
einen biegsamen, nicht dehnbaren Faden von der Länge p = Mil 
mit dem einen Endpunkte in ß, legt ihn an den Bogen ßß t 
so an, daß er ihn bei ßj in tangentialer Richtung verläßt, so 
kommt der andere Endpunkt des Fadens nach JSl x . Wird nun 
der Faden bei fortwährender Spannung von der Kurve ßß t 
abgewickelt, so beschreibt sein freier Endpunkt den Bogen 
der gegebenen Kurve. Auf die Evolute ist also der Faden auf- 
gewickelt und die Evolvente entsteht durch seine Abwickelung. 
Auch jeder andere Punkt des Fadens ß 1 Jf 1 und seiner 
Fortsetzung über M 1 hinaus beschreibt eine Linie, die wie C 
die Eigenschaft hat, auf der Richtung des Fadens überall senk 
recht zu sein. Zu einer Kurve, als Evolute aufgefaßt, gehören 
also unzählich viele Evolventen. Über ihr System wird in der 
Integralrechnung des näheren gesprochen werden. 
Treffen Evolute und Evolvente in einem Punkte zu 
sammen, so ist 
ß 1 M 1 = arc ß 1 ß 2 
= arc ßß 2 
usw. 
Diese Gleichungen charakterisieren die Kurve M 1 M als eine 
Evolvente der Kurve ß x ß. 
Hat die gegebene Kurve einen Wendepunkt, so ist die 
zugehörige Normale Tangente der Evolute in einem unendlich 
fernen Punkte, also Asymptote derselben. Erlangt der Krüm 
mungsradius der gegebenen Kurve in einem Punkte einen ex 
tremen Wert, so ist die Normale in diesem Punkte Tangente 
an zwei Äste der Evolute und diese weist also eine Spitze auf. 
160. Beispiele, betreffend die Bestimmung von 
Krümmungsradien, Krümmungsmittelpunkten und Evo 
luten. 1) Für die Farabel y 2 = 2px ist y = —, y" = — p s 
und hiermit ergibt sich der Krümmungshalbmesser, je nachdem