Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 483 
Aus den letzteren ergibt sieb 
2 r*+8a«r« + a* „ 2 . 
0 r 4 -J- 4aV s -f- 4a 4 ’ 
daraus gebt hervor, daß r 0 zwischen den Grenzen — und a 
gelegen ist, die untere Grenze für r = 0 annimmt und der 
oberen für limr = oo sieb nähert; infolgedessen ist die Evolute 
der archimedischen Spirale zwischen den beiden Kreislinien 
r = ~ und r = a eingescblossen und näbert sich der letzteren 
asymptotisch. 
Die Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes kann nach 
der in 161 für Rollkurven entwickelten allgemeinen Methode 
geschehen. 
2) Die logarithmische Spirale (136, 3)) 
r = ae m( P (a > 0) 
hat den Krümmungshalbmesser 
p = r]/1 + w 2 , 
und für den Krümmungsmittelpunkt gelten die Gleichungen: 
r 0 cos (cp 0 — cp) = 0 
r 0 sin (qp 0 — cp) — mr, 
aus welchen sich zunächst 
9>o - <P = ± y 
ergibt, je nachdem m positiv oder negativ ist; hiermit liefert 
die zweite 
r 0 = + mr. 
Die Elimination von r, cp gibt 
m 
r Q == + mae 
setzt man + mae = Ä, so schreibt sich diese Gleichung 
7 O 
r 0 == Ae m( f° 
und läßt erkennen, daß die Evolute der logarithmischen Spirale 
eine ihr kongruente Kurve ist. 
3) Bei den Sinusspiralen (136, 4)) 
r n = a n sin nep 
gestaltet sich die Bestimmung von p am einfachsten, wenn 
Czüber, Vorlesungen. I. 3. Aufl. 28