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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
und er würde sich als solcher auch analytisch zu erkennen 
gehen, wenn man in der Gleichung (1) x statt y als abhängige 
Variable auffaßte. Schließen sich die reellen Teile der Zweige 
in anderer Weise zusammen, so geschieht dies immer so, daß 
sie hier eine und dieselbe Tangente haben (Mg. 84 a) und b)); 
die Erscheinung, welche dadurch zustande kommt, heißt Spitze*) 
der Kurve (1), und zwar Spitze erster Art, wenn sie die Form 
a) hat, und Spitze zweiter Art oder Schnabelspitze im Falle b). 
Daß die reellen Teile der Zweige nicht mit verschiedenen 
Tangenten von M 0 ausgehen können, läßt sich folgendermaßen 
erkennen. Es ist eben gezeigt worden, daß bei einer alge 
braischen Kmwe mit mehrwertigem y dort, wo ein reeller Ast 
beginnt, notwendig zugleich ein zweiter beginnen müsse. 
Diiferentiiert man die Gleichung (1) nach x, wodurch 
fx + f v 'y = o 
erhalten wird, und eliminiert man zwischen dieser Gleichung 
und (1) y, so ergibt sich wieder eine algebraische Gleichung: 
F(x, y) = 0, 
die den Verlauf der Tangente bei (1) darstellt; faßt man hier y 
als Ordinate auf, so kommt man wieder zu einer algebraischen 
Kurve. Dem Zweige 9? (Mg. 84) entspricht ein Zweig cp' 
dieser neuen Kurve und ebenso dem Zweige ijj ein Zweig if/ } 
und hätten cp, in M 0 verschiedene Tangenten, so begännen 
die zugehörigen Zweige von F(x, y) = 0 bei x 0 an verschiedenen 
Stellen wie in Fig. 85, eine Erscheinung, die oben bei einer 
algebraischen Kurve als unmöglich erkannt wurde. 
*) Für die Spitze sind aucli die Benennungen Rückkehrpunkt und 
stationärer Punkt gebräuchlich, von der geometrischen Anschauung her 
geleitet, daß ein die Kurve stetig durchlaufender Punkt dort angekom 
men umkehren, vorher einen Augenblick Stillstehen muß.