Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 439 
Ist der Zweig 
V = pO) 
im ganzen Verlaufe imaginär, hat also (fix) beständig die Form: 
u(x) -f- iv(x), 
wobei u{x), v(x) reelle Funktionen bedeuten, so gehört zu 
ihm aus bereits angeführten Gründen ein zweiter imaginärer 
Zweig 
V = ^0*0 
derart, daß tp(x) die Form 
u(x) — iv(x') 
bat, so daß die zu einem speziellen Werte von x gehörigen 
Werte von (p(x) und ip(x) jedesmal konjugiert komplex sind. 
Hat nun die Gleichung 
v(x) = 0 
reelle Wurzeln und ist x 0 eine solche, so wird für sie sowohl 
(fix) wie ip(x) reell und überdies 
= H x o) = U M = Vo, 
so daß die imaginären Zweige den vereinzelten reellen Punkt 
xjy 0 gemein haben; ein solcher Punkt wird als isolierter oder 
konjugierter Punkt, auch als Einsiedlerpunkt der Kurve (1) 
bezeichnet. 
Damit sind die einfachsten besonderen Erscheinungen an 
gedeutet, welche bei algebraischen Kurven auftreten können. 
Man gibt den Punkten, welche hier als Knotenpunkt (oder 
Selbstberührungspunkt), Spitze und isolierter Punkt*) bezeichnet 
worden sind, den gemeinsamen Kamen singuläre Punkte**), 
welchen Kamen alle Punkte erhalten, in welchen eine Kurve 
ein anderes Verhalten zeigt als das bei dem gewöhnlichen Punkte 
beschriebene. 
Knotenpunkte und Spitzen treten auch bei transzendenten 
Kurven auf. 
*) Man zählt mitunter auch den Wendepunkt zu den singulären 
Punkten. 
**) Nach M. Cantors Vorles. über Gesch. d. Mathematik III (1901) 
p. 795, kommt diese Bezeichnung vermutlich zum ersten Male in einem 
aus 1740 stammenden Werke von J. P. de Gua de Malves vor.