Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 441 
als Gleichung der Tangente (128, (8)). Mit Rücksicht auf (4) 
kann also der Satz ausgesprochen werden: Geht eine algebrai 
sche Kurve durch den Ursprung des Koordinatensystems und ist 
dieser ein einfacher Punkt derselben, so erhält man durch Null 
setzen der Gliedergruppe erster Ordnung unmittelbar die Gleichung 
der Tangente im Ursprung. 
Wäre ff = 0, dagegen ff =)= 0, so ersetze man t durch 
- 1 - und findet x = 0, so daß £ = 0 oder die Ordinatenachse zur 
T 7 
Tangente wird. 
Wir gehen nun zu dem Falle über, wo gleichzeitig 
(9) 
ist; wenn nicht auch alle drei Differentialquotienten zweiter 
Ordnung zugleich verschwinden, so beginnt nunmehr die Glei 
chung (6) mit einem Gliede zweiten Grades in bezug auf | 
und lautet allgemein: 
(10) 
sie hat £ = 0 zur zweifachen Wurzel, die Gerade (5) schneidet 
also die Kurve ira Punkte M Q zweifach, mit anderen Worten; 
sie schneidet dort zwei — reelle oder imaginäre — Äste der 
Kurve, und deshalb wird nun M 0 ein zweifacher oder ein 
Doppelpunkt der letzteren genannt. Für diejenigen Geraden, 
deren Richtungskoeffizient die Bedingung 
(ID 
erfüllt, fallen in M 0 mehr als zwei Punkte der Kurve zu 
sammen, /diese Geraden sind die Tangenten an die durch M Q 
verlaufenden Kurvenzweige. 
In betreff der Wurzeln der Gleichung (11) sind aber 
mehrere Fälle zu unterscheiden, 
a) Ist die Diskriminante 
so hat (11) zwei verschiedene reelle Lösungen, durch M 0 gehen 
zwei reelle Zweige mit verschiedenen Tangenten, M 0 ist also 
ein Knotenpunkt (Fig. 82, a)).