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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
zu bestimmen; sein Parameter ergibt sich als die von Null 
verschiedene kleinste Lösung der Gleichung 
o o 
au — h sin u — 0, 
die geometrisch durch den Schnitt der Sinuslinie mit dem 
Strahl vom Richtungskoeffizienten ” , Pig. 88, bestimmt ist (in 
der Figur ist das Verhältnis y so groß angenommen, daß der 
Strahl nach rechts hin keinen 
weiteren Schnittpunkt mit der 
Sinuslinie ergibt). Hat man 
(u) den Wert vonw durch ein Nähe 
rungsverfahren bestimmt, so 
gibt seine Einsetzung in y 
die Ordinate des Knotenpunktes und die Einsetzung in 
dy fesin« ^ dy —bsimi 
dx a — b cos u dx a — b cos u 
die Richtungskoeffizienten der beiden Tangenten. 
Die verlängerte Zykloide weist keine singulären Punkte, 
hingegen Wendepunkte auf (146, 5)). 
8) Man prüfe folgende Kurven auf singuläre Punkte: 
a) (x 2 -+- y 2 ) (x — a) 2 — h 2 x 2 — 0 
ß) x 4 — 2ay 3 — 2a 2 x 2 + n 4 = 0 
y) ay 2 = (x — a) 2 (x — h) 
d) x* — 2ax 2 y — axy 2 -\-a 2 y 2 = 0. 
167. Endpunkt und Eckpunkt. Bei transzendenten 
Kurven können neben den bisher besprochenen noch andere 
Singularitäten auftreten, deren algebraische Kurven nicht fähig 
sind. Erscheinungen solcher Art sind der Endpunkt und die 
Ecke. 
Als Endpunkt bezeichnet man einen Punkt, in welchem 
die Kurve abbricht. Bei einer algebraischen Kurve tritt ein 
solcher Punkt nie auf, weil dort, wo ein Zweig endet, notwendig 
ein zweiter enden muß, wodurch eine Spitze sich ausbildet. 
Als Eckpunkt bezeichnet man einen Punkt, in welchem 
zwei Äste enden und voneinander verschiedene Tangenten da 
selbst besitzen. Der analytische Grund, weshalb diese Erschei- 
Fig. 88.