Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 451
Systems, welche durch den Punkt x 0 /y 0 gehen; ist die Zahl
der reellen unter diesen Kurven q(<Lp), so sagt man, die
Ebene werde durch das Kurvensystem im Punkte x 0 /y 0 q-fach
bedeckt. Ist die Bedeckung in allen Punkten der Ebene gleich
vielfältig, so bedeckt das Kurvensystem die Ebene gleichförmig.
Wenn dagegen die Multiplizität der Bedeckung wechselt,
so teilt sich die Ebene in Regionen, die durch Kurven von
einander geschieden werden; und diese Kurven sind es, welche
uns nun beschäftigen werden.
Bei dem Übergänge von einer Region zur benachbarten
ändert sich die Zahl der reellen Wurzeln u, und da bei einer
algebraischen Gleichung mit reellen Koeffizienten immer gleich
zeitig zwei Wurzeln aus dem reellen ins komplexe Gebiet oder
umgekehrt übergehen und im Augenblicke des Überganges reell
und gleich werden, so unterscheiden sich die Multiplizitäts-
faktoren der Bedeckung zweier benachbarten Regionen um eine
gerade Zahl und an der Begrenzung der Regionen werden min
destens zwei Wurzeln der Gleichung (1) einander gleich.
Daraus geht schon hervor, daß man, um die Grenzlinien
der Gebiete zu erhalten, nur die Bedingung aufzustellen hat,
unter welcher die Gleichung (1) nach u aufgelöst mehrfache
Wurzeln ergibt; diese Bedingung erhält man aber, wenn man
zwischen den beiden Gleichungen
I /0; V, u ) = 0
1 fu'fa y> u ) — 0
u eliminiert; das Resultat dieser Elimination wird die Diskri-
minante der Gleichung (1) in bezug auf u genannt und soll
symbolisch durch
(3) Dskr„ f{x, y, u) = 0
dargestellt werden. Man kann sich dieses Eliminationsresultat
auch durch die erste der beiden Gleichungen (2) vertreten
denken, wenn darin für u jene Funktion von x, y gesetzt wird,
welche die Auflösung der zweiten Gleichung liefert.
Im Sinne dieser Ableitung ist die Gleichung (3) der Ort
solcher Punkte der Ebene, für welche die Gleichung (1) eine
mehrfache Wurzel für u ergibt. Zu diesen Punkten gehören
aber auch die mehrfachen Punkte der Kurven des Systems;
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