Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 455 
169. B eziehung zwischen der Einhüllenden und 
den Ein gehüllten. Die Einhüllende steht zu den Eingehüllten 
in einer geometrischen Beziehung, welche sich in folgendem 
Satze ausspricht: Die Einhüllende berührt jede Eingehüllte in 
deren Grenzpunhten. 
Für einen Punkt xjy der Kurve u des Systems ergibt 
sich der Richtungskoeffizient der Tangente aus der Gleichung 
(8) f.' + f.’i1-0; 
ist der Punkt Grenzpunkt, so gehört er auch der Einhüllenden 
an, erfüllt die Gleichung f u '= 0, und der Richtungskoeffizient 
der Tangente an die Einhüllende in ihm folgt nach der unter 
(3) gemachten Bemerkung aus der Gleichung 
(9) °> 
in welcher den vollständigen Differentialquotienten von u, 
das jetzt Funktion von x, y ist, in bezug auf x bedeutet; ver- 
möge ff = 0 aber stimmt die Gleichung (9) mit (8) und in 
folgedessen auch im Grenzpunkte x/y die Tangente an die Ein 
hüllende mit der Tangente an die Eingehüllte überein. 
Zwischen der Ortskurve der mehrfachen Punkte und den 
Kurven des Systems findet Berührung im allgemeinen nicht 
statt; nur ausnahmsweise kann jene Ortskurve auch Einhül 
lende sein. 
Sind die Linien des Systems (1) Gerade, so bilden sie die 
Tangenten der Einhüllenden. Jede Kurve läßt hiernach zwei 
Auffassungen zu: als Ort von Punkten und als Einhüllende 
von Geraden. Die Evolute einer Kurve kann hiernach ebenso 
wohl als Ort ihrer Krümmungsmittelpunkte wie als Einhüllende 
ihrer Normalen erklärt werden (159). 
170. Fall zweier voneinander abhängigen Para 
meter. Enthält die Gleichung des Kurvensystems zwei Para 
meter u, v, so daß sie die Form 
(10) f{x, y, u,v) = 0 
hat, und besteht zwischen den Parametern eine Gleichung 
(11) cp{u, v) = 0,