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Erster TeiK Differential-Rechnung. 
Beispiele. 1) Für die Schraubenlinie erhält man auf Grund 
der Gleichungen (4) und der Formeln (6) die Richtungskosinus 
der Tangente: 
a cos u b 
cos y 
cos a = 
1/a 2 -\-b* 
COS ß 
\/a- + b- 
y« 2 + b 2 
der Winkel mit der positiven Richtung der z-Achse ist also 
konstant; sein Komplement, d. i. der Neigungswinkel der Tangente 
mit der xy-Ebene, wird der Steigungswinkel der Schrauben 
linie genannt. 
Die Gleichungen der Tangente lauten daun mit Rücksicht 
auf (4): 
% = rij—y = £ — z m 
— y x b ’ 
für die Spur S (Fig. 99) der Tangente auf der xy-Ebene 
ergehen sich hieraus, indem man g = 0 setzt, die Koordinaten; 
yz 
£ = x -f 
rj = y 
demnach ist 
xz 
~b 
PS 2 =$-xy + {rj-yy~ 
a‘u‘ 
und 
PS = au = arc PM n 
Der Ort der Tangenten einer Raumkurve ist eine krumme 
Fläche und heißt die Tangentenfläche der Kurve. Ihre Spur auf 
der iCi/-Ebene ist der Ort der Punkte für die Schrauben 
linie ist diese Spur durch die letzte Gleichung als eine Evolvente 
jenes Kreises charakterisiert, in welchen sich die Schraubenlinie 
auf der xy-Ebene projiziert (159). 
2) Bei der in 173, 2) betrachteten Kurve ist 
f{x, y, = x 2 + y 2 + z 2 — 4 a 2 , 
F(x, y, z) = x 2 — 2ax + y 2 , 
d(f, F) 
d{y, z) 
= — 4 yz, 
d(f,F) 
d(z, x) 
= 4 z(x — a), 
d(f,F) 
= 4 ay, 
d{x, y) 
und unter beständiger Rücksichtnahme auf die Gleichungen (5) 
der Kurve erhält man hieraus: 
cos a = 
yz 
«■j/4a 2 — x 2 ’ 
cos ß = 
z(x — a) 
a]/4a 2 — x 2 ’ cos ^