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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Daraus erhält man durch Multiplikation mit du das Bogen 
differential, das, wenn die unabhängige Variable nicht ersicht 
lich gemacht wird, die Formel hat: 
(9) ds = Ydx* -f dy 2 + dz 2 . 
Hiermit gestatten die Formeln 174, (6*) für die Rich- 
tuugskosinus der Tangente die Schreibweise: 
ntw „ dx a dy dz 
Bei allgemeinen Untersuchungen empfiehlt es sich, der 
Einfachheit der Formeln wegen, den von einem festen Punkte 
M 0 an gezählten Bogen s als Parameter zu wählen; ist wirk 
lich eine solche Darstellung der Koordinaten x, y, z als Funk 
tionen von s möglich, so bedeuten die rechten Seiten in (10) 
Differentialquotienten; im andern Falle sind sie als Quotienten 
von Differentialen bezüglich einer und derselben Variablen 
aufzufassen. 
Aus den Gleichungen (10) ergibt sich, bei der zuletzt 
angeführten Auffassung, die eigentliche geometrische Bedeutung 
von ds-, da nämlich 
dx = ds cos cc, dy = ds cos ß, dz — ds cos y, 
so stellt ds jene Strecke der Tangente vor, die vom Kurven 
punkte xfylz bis zum Nachbarpunkte x + dxfy + dyfz + dz 
der Tangente reicht. 
Beispiel. Das Bogendifferential der Schraubenlinie ergibt 
sich nach Formel (8) aus den Gleichungen 173, (4): 
ds =]/a 2 -f- h 2 du\ 
diese Differentialformel kann aber nur eine Folge einer end 
lichen Gleichung 
s =]/a 2 + b 2 • u + C 
sein, in welcher C eine Konstante bedeutet. Zählt man den 
Bogen von M 0 (Fig. 99) an, so werden s und u zugleich Null 
sein, daher ist dann auch (7=0 und 
s =]/a 2 + h 2 • u.