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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Alle Normalebenen gehen hier also durch einen festen Punkt, 
den Mittelpunkt der Kugel, eine Beziehung, die für jede sphä 
rische Raumkurve zurecht besteht. 
177. Die erste Krümmung oder Flexion. Wenn eine 
Gerade, in welcher eine Richtung als positiv gewählt ist, eine 
Bewegung in der Ebene ausführt, so ist die Größe der dabei 
vollzogenen Drehung durch die Endlagen der Geraden be 
stimmt*); ihr Maß ist der Winkel der positiven Richtungen 
dieser Endlagen. 
Bei einer Bewegung der Geraden im Raume reicht die 
Kenntnis der Endlagen nicht aus. Um hier die Größe der 
Drehung zu messen, kann man sich einer Kugel bedienen; ein 
aus dem Mittelpunkte derselben parallel zur positiven Richtung 
der Geraden gezogener Halbstrahl vollführt dieselbe Drehung 
und beschreibt auf der Kugeloberfläche einen Kurvenbogen; 
die Länge dieses Bogens, gemessen durch den Halbmesser der 
Kugel, welcher also als Längeneinheit dient, ist das natürliche 
Maß für die Größe der räumlichen Drehung der Geraden. 
Diese von Gauß eingeführte Betrachtungsweise wenden 
wir auf die Tangenten einer Raumkurve M 0 C (Fig. 101) an. 
Die Kurve welche der Parallelstrahl 0% zur positiven 
Fig. ioi. Tangentenrichtung MT auf der 
' Kugeloberfläche beschreibt, wird 
die sphärische Indikatrix der Tan 
genten genannt und bildet eine in 
der beschriebenen Weise erzeugte 
sphärische Abbildung der Raum 
kurve selbst. 
Setzt man 
M 0 M = s, 
% 0 % 
MM'= As 
%%'= Ar, 
und bezeichnet mit u, u -f- h die Parameterwerte der Punkte 
M, M', durch welche zugleich auch die Punkte %, ST bestimmt 
sind, so ist . , 
lim -j- = 
A = 0 ]l du 
*) Wenigstens bis auf etwaige volle Umdrehungen und wenn die 
Drehung fortwährend in einem Sinne erfolgt.