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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
so würde dies auf einen Punkt hinweisen, in welchem von 
einer Tangentialebene in dem erörterten Sinne nicht gesprochen 
werden kann, also auf einen besonderen oder singulären Punkt 
der Fläche; das nächstliegende Beispiel eines solchen ist die 
Spitze eines Kegels. 
189. Die Tangentialebene als oskulierende Ebene. 
Die Tangentialebene läßt noch eine andere Auffassung zu, die 
zugleich geeignet ist, das Verhalten der Fläche zur Tangential 
ebene in der Umgebung des Berührungspunktes näher kennen 
zu lehren. 
Jede Ebene, die man durch den Punkt M auf der Fläche (1) 
legen kann, hat eine Gleichung von der Form: 
(20) A{l-x) + B{ n -y) + CH-z) = 0-, 
wir denken uns eine dieser Ebenen herausgehoben und be 
stimmen den Abstand des Punktes M' mit den Koordinaten 
(15) von derselben; er ist 
^ ~h Cp)h -\-{B -f- C g) k ^ 
j/jJ + 71 2 -{•• C* ^ ’ 
wobei s wieder eine Größe zweiter Ordnung bedeutet. 
Im allgemeinen ist also ö in bezug auf h und k von der 
ersten Ordnung, ändert sein Vorzeichen, wenn h, Je es ändern, 
die Ebene (20) schneidet daher im allgemeinen die Fläche in M. 
Hat aber die Ebene eine solche Stellung, daß 
A + Cp = 0, B -\- Cq = 0 
ist, dann wird d von der zweiten Ordnung. Die Ebene ist 
dadurch völlig bestimmt; denn setzt man in (20) A = — Cp, 
B = — Cq, so geht die Gleichung über in 
£ — s = i>(£ - %) + q(v — y). 
Man kann also die Tangentialebene als diejenige unter den 
Ebenen durch den Punkt M definieren, welche sich der krummen 
Fläche in der Umgebung des Punktes am engsten anschließt, sie 
osJculiert, oder in Anwendung einer in 148 eingeführten Termi 
nologie als diejenige Ebene, welche mit der Fläche im Punkte 
M eine Berührung mindestens der ersten Ordnung aufweist.