Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 511 
Führt man die Entwicklung von z x in (15) weiter, so wird 
z x = z -+- ph + qk + ~ (rh 2 -f 2 shJc th 2 ) -f- s, 
wo nunmehr e eine Größe der dritten Ordnung bezeichnet; fin 
den Abstand des Punktes M' von der Ebene (20) ergibt sich 
dann der Ausdruck: 
{Ä -f- Cp)h -)- {B -|- Cq) k -\~ ^ {rh 9 - -f- 2 shk -|- t№) 
d = __ + / 
Ya 2 + r 2 + c* 
und insbesondere für seinen Abstand von der Tangentialebene 
(21) 
rh 2 -(- 2 shJc -(- tJc 2 „ 
2|/1 +jp 2 + <T 8 
wobei auch s" von der dritten Ordnung ist. 
Ist die quadratische Form rh 2 -f 2sh1c -f tk 2 der Variablen 
h, h definit (vgl. die Fußnote zu 121), also zeichenbeständig, 
so liegt die Fläche in der nächsten Umgebung des Punktes M 
ganz zu einer Seite der Tangentialebene; die notwendige und 
hinreichende Bedingung dafür ist: 
(22) rt — s 2 ^> 0. 
Ist die Form indefinit und darum verschiedener Vorzeichen 
fähig, was dann der Fall ist, wenn 
(23) rt — s 2 < 0, 
so liegt die Fläche in der Umgebung des Punktes M teils 
zur einen, teils zur andern Seite der Tangentialebene, wird 
also von dieser, da Stetigkeit vorausgesetzt ist, geschnitten; 
die Grenzen der Gebiete verschiedener Vorzeichen von Ö er 
geben sich aus der Gleichung 
rh 2 + 2 shJc + th 2 = 0 
mit den reellen und ungleichen Wurzeln 
k _ s -f- |/s 2 r t 
h t ’ 
hierdurch sind zwei in der xy-Ebene liegende durch den 
Punkt P laufende Geraden bestimmt; dieselben teilen die xy- 
Ebene in vier Gebiete; diesen entsprechen auf der Fläche vier 
Gebiete der Umgebung von M, welche abwechselnd zur einen 
und zur andern Seite der Tangentialebene liegen.