Erster Abschnitt. Variable und Funktionen. 
in hinreichend 
es x aus dem 
B) an; s sei 
fia) + s dem 
tsprechen W erte 
h in der Form 
3 en, je nachdem 
hsend oder ab- 
»ositiven Zahlen 
id h liegt, der 
zu einer Seite 
teilbar (a, a + rj) 
vird als „Stetig- 
ufig zum Aus- 
Stetigkeit ge- 
welche an jeder 
nschaft besitzt, 
is dem Intervall 
zu jeder Stelle 
3nge Umgebung 
eud zwei Funk- 
iz geben, deren 
i positiven Zahl 
.o auszudrücken, 
Ile zu einer un- 
unendlich kleine 
Man kann die Eigenschaft 1) auch dabin aussprechen, es 
sei für jedes a aus (a, ß) f(a) der Grenzwert, gegen welchen 
die Funktion f(x) hei dem stetigen Grenzübergange lim x = a + 0 
konvergiert.*) 
Als Beispiel einer Stetigkeitsprüfung diene die Funktion 
f{x) = x m , die Potenz mit ganzem positiven Exponenten m. 
Hier ist 
fix') — f{a) = x' m — a m , 
und wenn x' = a -\-h gesetzt wird, 
f{a + h) — f(a) = h\jna m ~ 1 -\-{^ja m ~ 2 h -\-^a m ~ s h 2 -\ f-Ä w-1 J ; 
ist g der größte unter den absoluten Werten der Koeffizienten 
der Potenzen von h in der Klammer und H der absolute Wert 
von h, so besteht die Ungleichung: 
I f(a + h)-f(a) 1 + H+ ■ ■ ■ + &->) - 
und wenn H ein echter Bruch, so gilt um so mehr: 
\f(a + h) -f(a) | <i^- 
Ist nun £ eine beliebig klein angenommene positive Zahl und 
wird H so gewählt, daß 
^E-Cs 
so ist auch 
\f(a + h) — f(a) 1 < £. 
Aus der vorangehenden Ungleichung ergibt sich aber 
2 
h< 
f* + « 
Wird also der absolute Wert von h gleich oder kleiner ge 
nommen als —y—, so ist 
<* + s 
1 f( x ') - fi a ) I < £ 
für jedes x' aus dem Intervall (a — h, a -f- h). 
*) Ansätze von der Form 
lim f{x) — f{a) oder lim fix h) 
x=a h=0 
m. 
die auf den ersten Blick selbstverständlich scheinen, sind nur dann 
legal, wenn die Funktion fix) in der Umgebung von a, beziehungs 
weise x, stetig ist. 
3*