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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
weil aber für die Punkte der Einhüllenden ff = 0 ist, so ver 
einfacht sich diese Gleichung zu 
(J - X )fx + (V ~ V)fy + (S — *)£'“ 
das aber ist auch die Gleichung der Tangentialebene an die 
Fläche u der Schar, aber in einem Punkte, für den ff = 0, 
d. h. in einem Punkte der Charakteristik. Es fallen also die 
Täügentialebenen der Einhüllenden und der eingehüllten Fläche 
in einem solchen Punkte zusammen, beide Flächen berühren 
sich dort. 
Auf der Einhüllenden kann aber noch eine besondere Er 
scheinung zutage treten. Die Charakteristik auf der Fläche u, 
durch das Gleichungspaar 
(6) f{x, y, z, u) = 0, f u '(x, y, z, u) = 0 
mit festem u bestimmt, kann nämlich von der Fläche des 
Systems mit dem Parameter u + h, d. i. von 
f{x, y, z, u + h) = 0 
oder 
(7) fix, y, z, u) + ff ix, y, z, u) h + ff u ix, y,z,u+ 9h) y = 0 
in einzelnen Punkten geschnitten werden; für diese Punkte 
bestehen die Gleichungen (6) und (7) zugleich und vereinfacht 
sich daher die letzte auf 
füu(. x > y,*, u + eh ) = °5 
wenn nun h gegen Null konvergiert, so werden sich diese 
Schnittpunkte auf der Charakteristik (6) bewegen und können 
sich gewissen Grenzpunkten nähern, zu deren Bestimmung die 
Gleichungen 
(8) fix,y,z,u) = 0, f u 'ix,y,z,u) = 0, f” u {x,y,z,u) = 0 
zu dienen hätten. Mit stetig sich änderndem u kommen diese 
Grenzpunkte in Bewegung und ihr Erzeugnis ist eine auf der 
Einhüllenden gelegene Kurve, welche man als die JRiicMehr- 
hante oder auch als Gratlinie der Einhüllenden bezeichnet, 
weil sie, wenn sie vorhanden ist, in Form einer scharfen Kante 
auf der Fläche erscheint. Analytisch ist die Kurve durch die 
drei Gleichungen (8) oder durch die zwei ersten derselben ge 
geben, wenn darin für u der aus der dritten resultierende Wert 
eingesetzt wird.