Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 525
Jede Charakteristik wird in den ihr ungehörigen Grenz
punkten von der Bückkehrkante berührt.
Auf Grund der zuletzt gemachten Bemerkung ist nämlich
die Richtung dx : dy : dz der Tangente in einem Punkte x/yjz
der Rückkehrkante durch das Gleichungspaar
+ dx + ifv + fvjy) <J y + {f* + fu 17) dz = 0
(/«» + fuu Jxj dx + (fuy + fuu ly) (l y + (fuz + fl
d u\
du
’ uu Jz
dz = 0
bestimmt (174); weil aber in den Punkten der Rückkehrkante
f u '=0, f" u = 0 ist, so reduzieren sich diese Gleichungen auf
fjdx + fy.d y + f'dz = 0
fux dx + füy d V + C d * = °;
hierdurch ist aber auch die Richtung der Tangente in einem
Punkte der Charakteristik (2) bestimmt, aber in einem Punkte,
für welchen auch f" u = 0 ist, d. h. in einem Grenzpunkte.
Die Rückkehrkante, falls eine solche zustande kommt, ist
demnach die Einhüllende der Charakteristiken.
195. Beispiele. Unter den zyklischen Flächen sind wegen
ihrer vielfachen technischen Anwendung diejenigen von be
sonderem Interesse, die sich als Einhüllende einer einfach un
endlichen Kugelschar auffassen lassen. Die Kugelschar entsteht
dadurch, daß der Mittelpunkt einer Kugel von variablem oder
konstantem Halbmesser eine Linie, die Bahnlinie oder Achse,
beschreibt. Uber die Anordnung der Charakteristiken einer
solchen Fläche läßt sich vorweg eine allgemeine Aussage
machen. Da der Schnittkreis zweier Kugeln in einer zu ihrer
Zentrallinie senkrechten Ebene steht, da ferner die Zentrallinie
zweier unmittelbar benachbarten Kugeln der Schar mit der
Tangente der Bahnkurve zusammenfällt, so liegt die Charak
teristik jeweilen in einer Ebene, die auf der Tangente des zu
geordneten Bahnkurvenpunktes senkrecht steht. Eine weitere
allgemeine Eigenschaft besteht darin, daß die Normalen der
Umhüllungsfläche längs einer Charakteristik als Normalen einer
Kugel einen Kegel bilden, dessen Spitze in der Bahnlinie liegt,
unter Umständen eine Ebene, jenachdem die Charakteristik ein
Neben- oder ein Hauptkreis der Kugel ist.
